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3.【背景】人类使用密码的历史悠久,利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
【操作】步骤一:分解因式 $x^2 y - 4y = y(x^2 - 4) = y(x + 2)(x - 2)$；
步骤二:取 $x = 15, y = 12$,则有 $y = 12, x + 2 = 17, x - 2 = 13$,其中 12,17,13 分别为因式码；
步骤三:将这三个因式码按从小到大的顺序排列,形成密码 121317.
【注意】字母的取值不同,所得的密码也不同;若所得的因式码为 1,则形成密码时,表示为 01,以此类推.
【理解】(1)①已知多项式 $16p^4 - q^4$,当取 $p = 10, q = 5$ 时,则生成的密码是什么?
②若多项式 $16p^4 - q^4$($p,q$ 分别取正整数),生成的密码的前两个因式码为 5,15,则第三个因式码是
【拓展】(2)一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$,请你根据上述方法破解出由多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码.
【提升】(3)若多项式 $x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$ 分解因式后,利用前面的方法,当 $x = 24$ 时,可以得到密码为 242932,求 $m,n$ 的值.
【操作】步骤一:分解因式 $x^2 y - 4y = y(x^2 - 4) = y(x + 2)(x - 2)$；
步骤二:取 $x = 15, y = 12$,则有 $y = 12, x + 2 = 17, x - 2 = 13$,其中 12,17,13 分别为因式码；
步骤三:将这三个因式码按从小到大的顺序排列,形成密码 121317.
【注意】字母的取值不同,所得的密码也不同;若所得的因式码为 1,则形成密码时,表示为 01,以此类推.
【理解】(1)①已知多项式 $16p^4 - q^4$,当取 $p = 10, q = 5$ 时,则生成的密码是什么?
②若多项式 $16p^4 - q^4$($p,q$ 分别取正整数),生成的密码的前两个因式码为 5,15,则第三个因式码是
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.【拓展】(2)一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$,请你根据上述方法破解出由多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码.
【提升】(3)若多项式 $x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$ 分解因式后,利用前面的方法,当 $x = 24$ 时,可以得到密码为 242932,求 $m,n$ 的值.
答案
(1)①1525425. ②125
(2)010509.
(3)$m=29,n=8$.
(2)010509.
(3)$m=29,n=8$.
解析
【分析】
这是一道结合因式分解与新定义密码的综合题，解题核心是先对多项式正确因式分解，再结合密码生成规则（因式码排序，小于10的因式码前面补0）和题目给定条件逐步求解：1. 第(1)问先对$16p^4-q^4$用平方差公式彻底分解，①代入赋值计算各因式值，排序得密码；②根据前两个较小因式码，利用因式乘积关系求出第三个因式码。2. 第(2)问先根据等腰三角形周长和三边关系确定x、y的取值，再分解目标多项式，代入计算因式码排序得密码。3. 第(3)问根据给出的密码反推二次因式的分解结果，利用多项式对应系数相等列方程求解m、n。
【解析】
(1) 先分解$16p^4-q^4$：
$16p^4-q^4=(4p^2)^2-(q^2)^2=(4p^2-q^2)(4p^2+q^2)=(2p-q)(2p+q)(4p^2+q^2)$
① 当$p=10,q=5$时：
$2p-q=2×10-5=15$，$2p+q=2×10+5=25$，$4p^2+q^2=4×10^2+5^2=425$
将因式码从小到大排序为15,25,425，生成密码为1525425。
② 已知前两个因式码为5,15，是较小的两个因式值，即$2p-q=5$，$2p+q=15$，联立解得$p=5,q=5$，则第三个因式码为$4p^2+q^2=4×5^2+5^2=125$。
(2) 等腰三角形周长为12，故$2x+y=12$，且满足三边关系：$2x＞y＞0$，x、y为不同正整数：
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，故x只能取5，此时$y=12-2×5=2$。
分解多项式$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x-2y)(x+2y)$，代入$x=5,y=2$：
$x=5$，$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$，因式码为1,5,9，按规则补0得01,05,09，排序后密码为010509。
(3) 先分解多项式：$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$
当$x=24$时密码为242932，故三个因式值从小到大依次为24,29,32，因此二次因式分解为$(x+5)(x+8)$（因为$24+5=29,24+8=32$）。
展开得$(x+5)(x+8)=x^2+13x+40$，与$x^2+(m-2n)x+5n$对应系数相等：
$\begin{cases}m-2n=13\\5n=40\end{cases}$，解得$n=8$，代入得$m=13+2×8=29$。
【答案】
(1)①1525425；②125
(2)010509
(3)$m=29,n=8$
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，代数式求值
【点评】
本题以密码生成为背景，将因式分解、几何性质、方程求解相结合，解题的关键是准确理解密码生成规则，熟练掌握因式分解的方法，能灵活运用对应关系列方程求解。
【难度系数】
0.65
这是一道结合因式分解与新定义密码的综合题，解题核心是先对多项式正确因式分解，再结合密码生成规则（因式码排序，小于10的因式码前面补0）和题目给定条件逐步求解：1. 第(1)问先对$16p^4-q^4$用平方差公式彻底分解，①代入赋值计算各因式值，排序得密码；②根据前两个较小因式码，利用因式乘积关系求出第三个因式码。2. 第(2)问先根据等腰三角形周长和三边关系确定x、y的取值，再分解目标多项式，代入计算因式码排序得密码。3. 第(3)问根据给出的密码反推二次因式的分解结果，利用多项式对应系数相等列方程求解m、n。
【解析】
(1) 先分解$16p^4-q^4$：
$16p^4-q^4=(4p^2)^2-(q^2)^2=(4p^2-q^2)(4p^2+q^2)=(2p-q)(2p+q)(4p^2+q^2)$
① 当$p=10,q=5$时：
$2p-q=2×10-5=15$，$2p+q=2×10+5=25$，$4p^2+q^2=4×10^2+5^2=425$
将因式码从小到大排序为15,25,425，生成密码为1525425。
② 已知前两个因式码为5,15，是较小的两个因式值，即$2p-q=5$，$2p+q=15$，联立解得$p=5,q=5$，则第三个因式码为$4p^2+q^2=4×5^2+5^2=125$。
(2) 等腰三角形周长为12，故$2x+y=12$，且满足三边关系：$2x＞y＞0$，x、y为不同正整数：
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，故x只能取5，此时$y=12-2×5=2$。
分解多项式$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x-2y)(x+2y)$，代入$x=5,y=2$：
$x=5$，$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$，因式码为1,5,9，按规则补0得01,05,09，排序后密码为010509。
(3) 先分解多项式：$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$
当$x=24$时密码为242932，故三个因式值从小到大依次为24,29,32，因此二次因式分解为$(x+5)(x+8)$（因为$24+5=29,24+8=32$）。
展开得$(x+5)(x+8)=x^2+13x+40$，与$x^2+(m-2n)x+5n$对应系数相等：
$\begin{cases}m-2n=13\\5n=40\end{cases}$，解得$n=8$，代入得$m=13+2×8=29$。
【答案】
(1)①1525425；②125
(2)010509
(3)$m=29,n=8$
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，代数式求值
【点评】
本题以密码生成为背景，将因式分解、几何性质、方程求解相结合，解题的关键是准确理解密码生成规则，熟练掌握因式分解的方法，能灵活运用对应关系列方程求解。
【难度系数】
0.65
