1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC＞90°$,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点M、N,直线EF、MN交于点P.
(1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上.
(2)已知$∠ FAN=56°$,求$∠ FPN$的度数.

(第1题图)

1. (1) 连结BP、AP、PC.
∵ PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,
∴ PA=PB,PA=PC.
∴ PB=PC.
∴ 点P在线段BC的垂直平分线上.

(2)
∵ EF垂直平分AB,NM垂直平分AC,
∴ FA=FB,NA=NC,∠FEA=∠NMA=90°.
∴ ∠B=∠1,∠C=∠2.
在△ABC中,∠B+∠BAC+∠C=180°,
即2∠1+2∠2+∠FAN=180°.
∴ ∠1+∠2=$\frac{1}{2}(180°-∠FAN)$
=$\frac{1}{2}×124°$
=62°.
在四边形AEPM中,∠PEA + ∠EAM + ∠PMA+∠FPN=360°,
∴ ∠FPN = 360°-2×90°-56°-62°
=62°.

2. 如图,在$△ ABC$中,DM垂直平分AC于点D,交AB于点M,EN垂直平分BC于点E,交BC于点N,DM与EN相交于点F.
(1)若AB长为16 cm,求$△ CMN$的周长.
(2)若$∠ F=70°$,求$∠ MCN$的度数.

(第2题图)

2. (1)
∵ DM是线段AC的垂直平分线,
∴ MA=MC.
∵ EN是线段BC的垂直平分线,
∴ NC=NB.
∴ △CMN的周长=MC+MN+NC
=MA+MN+NB
=AB=16 cm.
(2)
∵ ∠MFN=70°,
∴ ∠FMN+∠FNM=180°-70°=110°.
∴ ∠AMD+∠BNE=110°.
∵ MD⊥AC,NE⊥AB,
∴ ∠A+∠B=180°-110°=70°.
∴ ∠BCA = 180°-(∠A+∠B)
=180°-70°=110°.
∵ MA=MC,NC=NB,
∴ ∠MCA=∠A,∠NCB=∠B.
∴ ∠MCA+∠NCB=70°.
∴ ∠MCN=110°-70°=40°.

3. 如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交CB的延长线于点F,连结DE、AF.
(1)判断DE与AC的位置关系,并证明.
(2)求证:$∠ C=∠ EAF$.

(第3题图)

3. (1)$DE// AC$.
证明:
∵ AD是∠BAC的平分线,
∴ ∠CAD=∠BAD.
∵ EF垂直平分AD,
∴ AE=DE.
∴ ∠BAD=∠EDA.
∴ ∠CAD=∠EDA.
∴ $DE// AC$.
(2)
∵ EF垂直平分AD,
∴ EA=ED,FA=FD.
在△AEF和△DEF中,
$\begin{cases} EA=ED, \\ EF=EF, \\ FA=FD, \end{cases}$
∴ △AEF ≌ △DEF(SSS).
∴ ∠EAF=∠EDF.
∵ $DE// AC$,
∴ ∠C=∠EDF.
∴ ∠C=∠EAF.