4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,点E、D、M分别在AB、BC、AC上,连结ED、DM、EM,点F、N分别在BD、CD上,连结EF、MN.
(1)若EF、MN分别是$△ BED$和$△ DMC$的中线,$DF=2,NC=8$,求BC的长度.
(2)若EF垂直平分BD,MN垂直平分DC,判断ED与MD是否垂直,并说明理由.

(第4题图)

4. (1)
∵ EF、MN分别是△BED和△DMC的中线,
∴ BF=DF,DN=NC.
∴ BC=BF+DF+DN+NC=2+2+8+8=20.
(2)$ED⊥ MD$.
理由:由线段垂直平分线的性质可知,EB=ED,MD=MC.
∴ ∠B=∠EDB,∠MDC=∠C.
∵ ∠A=90°,
∴ ∠EDB+∠MDC=90°.
∴ ∠EDM=90°.
∴ $ED⊥ MD$.

5.如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,$BE=CF$.
(1)求证:AD平分$∠ BAC$.
(2)连结EF,求证:AD垂直平分EF.

（第5题图）

5. (1)
∵ D是BC的中点,
∴ BD=CD.
又
∵ BE=CF,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$.
∴ DE=DF.
∴ 点D在∠BAC的平分线上.
∴ AD平分∠BAC.
(2)
∵ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$,
∴ ∠B=∠C.
∴ AB=AC.
∵ BE=CF,
∴ AB-BE=AC-CF.
∴ AE=AF.
∵ DE=DF,
∴ AD垂直平分EF.

6. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$边上,$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$,垂足为点$F$,且$∠ AEF=50°$,连结$DE$.
(1)求证:$AE$平分$∠ FAD$.
(2)求证:$DE$平分$∠ ADC$.
(3)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.

(第6题图)
7. 如图,已知$BD$为$∠ ABC$的平分线,$AB=BC$,

6. (1)
∵ $EF⊥ AB$,
∴ ∠AFE=90°.
∵ ∠AEF=50°,
∴ ∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵ ∠BAD=100°,
∴ ∠DAE=180°-100°-40°=40°=∠EAF.
∴ AE平分∠FAD.
(2) 如图,过点E作$EM⊥ AD$于点M,$EN⊥ BC$于点N.

∵ BE平分∠ABC,$EF⊥ AB$,
∴ EF=EN.
∵ AE平分∠DAF,$EF⊥ AB$,
∴ FE=EM.
∴ EM=EN.
∵ $EM⊥ AD$,$EN⊥ CD$,
∴ DE平分∠ADC.
(3)
∵ $S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}$,
∴ $\frac{1}{2}AD· EM+\frac{1}{2}CD· EN=15$.
∴ $\frac{1}{2}(AD+CD)· EM=15$.
∴ $\frac{1}{2}×(4+8)× EM=15$.
∴ $EM=\frac{5}{2}$.
∴ $EF=\frac{5}{2}$.
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF$
=$\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.