10.已知:如图,AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点D、E.
求证:点O在∠C的平分线上.
证明:如图,过点O作OF⊥AC,垂足为点F.
∵ AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线(已知),
OE⊥AB,OD⊥BC(已知),
OF⊥AC(所作),
∴ OE=OD,OE=OF().
∴ OD=OF(等量代换).
∴ 点O在∠C的平分线上().

(第10题图)
【研究原图形】
(1)补全证明过程.
(2)分别连结DE、EF、FD.小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系.若∠BAC=m°,则∠EDF=°.(用含m的代数式表示)
【解决新问题】
为了方便研究,小婷把满足题目条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”,点O叫做“共心”.
(3)已知△DEF是△ABC的“内三角形”,点O是“共心”,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且OE//BC.先画出符合条件的示意图,再过点E作EG⊥DF于点G,求证:点G在直线AO上.

10. (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
(2)$(90-\frac{m}{2})$
(3)示意图如图:

证明:$\because \ \ OE// BC,OE ⊥ AB$,
$\therefore \ \ ∠ ABC=90°$.
由(2)可知$∠ EFD=90°-\frac{1}{2}∠ ABC=45°$,
$\therefore \ \ ∠ GEF=45°$.
$\therefore \ \ EG=FG$.
$\therefore \ \ $点$G$在$EF$的垂直平分线上.
$\because \ \ OE ⊥ AB,OF ⊥ AC$,且$AO$平分$∠ BAC$,
$\therefore \ \ ∠ AEO=∠ AFO=90°,∠ EAO=∠ FAO$.
在$△ AEO$和$△ AFO$中,
$\begin{cases}∠ AEO=∠ AFO, \\∠ EAO=∠ FAO, \\AO=AO,\end{cases}$
$\therefore \ \ △ AEO ≌ △ AFO(\mathrm{AAS})$.
$\therefore \ \ AE=AF,OE=OF$.
$\therefore \ \ AO$是$EF$的垂直平分线.
$\therefore \ \ $点$G$在直线$AO$上.