点，$DE ⊥ AB$于点$E$，且$DE=DC$.
(1)求证:$BD$平分$∠ ABC$.
(2)若$∠ A=36°$,求$∠ DBC$的度数.

（第6题图）

6. (1)$\because \ \ DC ⊥ BC,DE ⊥ AB,DE=DC$,
$\therefore \ \ $点$D$在$∠ ABC$的平分线上.
$\therefore \ \ BD$平分$∠ ABC$.
(2)$\because \ \ ∠ C=90°,∠ A=36°$,
$\therefore \ \ ∠ ABC=54°$.
$\because \ \ BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore \ \ ∠ DBC=∠ ABD=27°$.

7. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$的延长线上,$∠ ACE=28°$,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,过点$E$作$EH ⊥ BD$于点$H$,且$∠ CEH=62°$.
(1)求证:$AE$平分$∠ CAF$.
(2)若$AB=8$,$CD=10$,$AC=6$,且$S_{△ ABE}=16$,求$△ ACD$的面积.

(第7题图)
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD$是$BC$边

7. (1)如图,过$E$点作$EM ⊥ BF$于点$M$,$EN ⊥ AC$与点$N$.

$\because \ \ BE$平分$∠ ABC,EH ⊥ BD$,
$\therefore \ \ EM=EH$.
$\because \ \ ∠ ACE=28°,∠ CEH=62°$,
$\therefore \ \ ∠ HCE=90°-∠ CEH=90°-62°=28°=∠ ACE$.
又$\because \ \ EN ⊥ AC,EH ⊥ BD$,
$\therefore \ \ EN=EH$.
$\therefore \ \ EM=EN$.
$\therefore \ \ AE$平分$∠ CAF$.
(2)$\because \ \ AB=8,CD=10,AC=6$,且$S_{△ ABE}=16$,
$\therefore \ \ 16=S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB · EM=\frac{1}{2}×8× EM$.
$\therefore \ \ EM=4$.
$\therefore \ \ EN=EH=EM=4$.
$\therefore \ \ S_{△ ACD}=S_{△ ACE}+S_{△ CED}$
$=\frac{1}{2}AC · EN+\frac{1}{2}CD · EH$
$=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4$
$=32$,
即$△ ACD$的面积为32.

上的高，BE是$∠ ABC$的平分线，BE交AD于点F. 下列说法:①$∠ BAD=∠ C$；②$AE=AF$；③$∠ CAD=2∠ CBE$；④$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· AE$，其中正确的有().


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

8. D

9. 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠BAD = α, ∠BCD=180°−α,BD 平分∠ABC.
(1)如图1,若α=90°,根据教材中的一个重要性质直接可得DA=CD,这个性质是.
(2)问题解决:如图2,求证:AD=CD.
(3)问题拓展:如图3,在等腰三角形ABC中,∠BAC=100°,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC.

9. (1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)如图1,过点$D$作$DE ⊥ BA$,交$BA$的延长线于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$.

$\because \ \ BD$平分$∠ EBF,DE ⊥ BE,DF ⊥ BF$,
$\therefore \ \ DE=DF$.
$\because \ \ ∠ BAD+∠ C=180°,∠ BAD+∠ EAD=180°$,
$\therefore \ \ ∠ EAD=∠ C$.
在$△ DEA$和$△ DFC$中,
$\begin{cases}∠ DEA=∠ DFC, \\∠ DAE=∠ DCF, \\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore \ \ △ DEA ≌ △ DFC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore \ \ DA=DC$.
(3)如图2,在$BC$上截取$BK=BD$,连结$DK$.

$\because \ \ AB=AC,∠ A=100°$,
$\therefore \ \ ∠ ABC=∠ C=40°$.
$\because \ \ BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore \ \ ∠ DBK=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$.
$\because \ \ BD=BK$,
$\therefore \ \ ∠ BKD=∠ BDK=80°$,
即$∠ A+∠ BKD=180°$.
由(2)的结论得$AD=DK$.
$\because \ \ ∠ BKD=∠ C+∠ KDC$,
$\therefore \ \ ∠ KDC=∠ C=40°$.
$\therefore \ \ DK=CK$.
$\therefore \ \ AD=DK=CK$.
$\therefore \ \ BD+AD=BK+CK=BC$.