10. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE ∽ △DEF,AB=6,AE=9,DE=2,则EF的长是 ()


A.4
B.5
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{15}$

10. C

【分析】
本题是相似三角形与矩形、勾股定理的综合题，解题思路如下：首先矩形的内角都为直角，可得△ABE和△DEF都是直角三角形；再利用相似三角形对应边成比例的性质，求出DF的长度；最后在Rt△DEF中用勾股定理即可算出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°。
∵△ABE ∽ △DEF，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$。
将AB=6，AE=9，DE=2代入比例式得：
$\frac{6}{2}=\frac{9}{DF}$，解得DF=3。
在Rt△DEF中，根据勾股定理：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确找到相似三角形的对应边，结合比例关系求出未知边长，再用勾股定理计算目标线段，难度不高，只要熟悉相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

11. 用一把剪刀将一张顶角为$36°$的等腰三角形纸片剪成两个三角形，则这两个三角形一定不会是（）

A.两个直角三角形
B.两个等腰三角形
C.两个全等三角形
D.两个相似三角形（相似比$k≠1$）

11. D 【解析】如图1,过点A作AD⊥BC于点D,则△ABD和△ACD都是直角三角形,故A选项不符合题意。
如图2,作BE平分∠ABC交AC于点E，
因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°。
因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=36°=∠A，
所以EA=EB,所以△ABE为等腰三角形。
因为∠BEC=36°+36°=72°=∠C,所以BE=BC，
所以△BEC为等腰三角形，
所以△EAB和△BEC都是等腰三角形,故B选项不符合题意。
如图1,在Rt△ABD和Rt△ACD中,$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AD,\end{cases}$
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),故C选项不符合题意。
如图1,△ABD∽△ACD且相似比为1，
用其他方法也剪不出相似比不为1的两个相似三角形,故D选项符合题意。

【分析】
解题时采用逐一排除的思路：结合顶角为36°的等腰三角形的角度、边长特点，分别验证每个选项的剪裁方式是否存在。首先判断能否剪出两个直角三角形，再判断能否剪出两个等腰三角形，接着判断能否剪出两个全等三角形，最后验证是否存在剪裁方式得到相似比不为1的两个相似三角形，即可选出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，等腰三角形底边上的高将三角形分为两个直角三角形，即△ABD和△ACD都是直角三角形，故A不符合题意。
B选项：如图2，作BE平分∠ABC交AC于点E。已知AB=AC，∠A=36°，因此底角$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。BE平分∠ABC，故$∠ ABE=36°=∠ A$，可得$EA=EB$，△ABE是等腰三角形；又$∠ BEC=∠ A+∠ ABE=36°+36°=72°=∠ C$，因此$BE=BC$，△BEC也是等腰三角形，即剪裁后可得两个等腰三角形，故B不符合题意。
C选项：如图1，在$Rt△ ABD$和$Rt△ ACD$中，$\begin{cases}AB=AC\\AD=AD\end{cases}$，根据HL判定定理可得$Rt△ ABD≌ Rt△ ACD$，沿AD剪裁可得到两个全等三角形，故C不符合题意。
D选项：结合该三角形的角度特性，不存在剪裁方式能得到相似比$k≠1$的两个相似三角形，仅能得到相似比为1的全等三角形，故D符合题意。
【答案】
D

【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，相似三角形判定
【点评】
本题围绕特殊等腰三角形的剪裁问题考查三角形相关基础性质，解题时可通过作图辅助验证，逐一排除可行方案，考验对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，如果$△ ADE$与$△ ABC$相似，那么$AE$的长是________。

12. 4或9

【分析】
本题中△ADE和△ABC有公共角∠A，题目仅说明两个三角形相似，未给出明确的对应顶点，因此需要分两种情况讨论相似的对应关系，再根据相似三角形对应边成比例的性质列等式求解AE的长度。
【解析】
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，△ADE与△ABC相似，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
将AB=12，AC=8，AD=6代入得：$\frac{6}{8}=\frac{AE}{12}$
解得：$AE=\frac{6×12}{8}=9$
2. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AB=12，AC=8，AD=6代入得：$\frac{6}{12}=\frac{AE}{8}$
解得：$AE=\frac{6×8}{12}=4$
综上，AE的长为4或9。
【答案】
4或9
【知识点】
1. 相似三角形对应边成比例
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的常见题型，易错点是忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，未分类讨论导致漏解，解题时需结合公共角梳理可能的边对应关系。
【难度系数】
0.6

13. 如图，在$△ ABP$中，点$C$，$D$在边$AB$上，连结$PC$，$PD$，已知$∠ ADP=60°$，且$△ ACP ∽ △ PDB$。
（1）请判断$△ PCD$的形状，并说明理由。
（2）若$AC=2$，$BD=3$，求$△ ABP$的面积。

13. 解:(1)△PCD为等边三角形。理由如下：
因为△ACP∽△PDB,所以∠ACP=∠PDB，
所以∠PCD=∠PDC,所以△PCD是等腰三角形。
又因为∠ADP=60°,所以△PCD是等边三角形。
(2)因为△ACP∽△PDB,所以$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$。
又因为AC=2,BD=3,△PCD是等边三角形，
所以$\frac{2}{PD}=\frac{PD}{3}$,所以$PD=\sqrt{6}$(负值已舍去)。
如图,过点P作PH⊥CD于点H。
因为△PCD为等边三角形，
所以 $CH=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以 $PH=\sqrt{PC^2-CH^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· PH=\frac{1}{2}×(2+\sqrt{6}+3)×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。

【分析】
（1）判断△PCD的形状，可先从已知相似三角形的性质入手：△ACP∽△PDB可得对应角相等，推导得到△PCD的两个底角相等，确定其为等腰三角形；再结合已知∠ADP=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
（2）求△ABP的面积，需要先得到底AB的长度和AB边上的高：首先利用相似三角形对应边成比例的性质，结合AC、BD的长度和等边三角形边长相等的结论，求出等边△PCD的边长，即可得到AB=AC+CD+BD；再通过作AB边上的高，利用等边三角形的性质和勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) △PCD为等边三角形，理由如下：
∵△ACP∽△PDB，
∴∠ACP=∠PDB，
∴180°-∠ACP=180°-∠PDB，即∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD，△PCD是等腰三角形。
又
∵∠ADP=60°，
∴有一个内角为60°的等腰△PCD是等边三角形。
(2)
∵△ACP∽△PDB，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$。
已知AC=2，BD=3，且△PCD是等边三角形，故PC=PD=CD，
代入比例式得$\frac{2}{PD}=\frac{PD}{3}$，解得$PD^2=6$，$PD=\sqrt{6}$（边长为正，舍去负值），即CD=PD=$\sqrt{6}$。
如图，过点P作PH⊥AB于点H，
∵△PCD为等边三角形，PH⊥CD，
∴H为CD中点，$CH=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△PCH中，由勾股定理得：
$PH=\sqrt{PC^2-CH^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
又AB=AC+CD+BD=2+$\sqrt{6}$+3=5+$\sqrt{6}$，
∴$S_{△ABP}=\frac{1}{2}AB·PH=\frac{1}{2}×(5+\sqrt{6})×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1)△PCD为等边三角形，理由见解析；
(2)$\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$

【知识点】
相似三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查相似三角形的性质和等边三角形的相关应用，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角、对应边，计算时注意二次根式的运算规则即可。
【难度系数】
0.7

14. 从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段所在的直线叫作这个三角形的完美分割线。
(1)如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数。
(2)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长。

14. 解:(1)因为AD=CD,所以∠ACD=∠A=48°。
由题意得△BDC∽△BCA,所以∠BCD=∠A=48°，
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°。
(2)由已知可得AC=AD=2。
由题意得△BCD∽△BAC，
所以$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$,即$BC^2=BA· BD$。
设BD=x,则BA=x+2,所以$(\sqrt{2})^2=x(x+2)$。
因为x＞0,所以$x=\sqrt{3}-1$,即$BD=\sqrt{3}-1$。
因为△BCD∽△BAC,所以$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$,所以$\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
所以$CD=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}×2=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。

【分析】
(1) 解题思路：首先由AD=CD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACD=∠A；再结合完美分割线的定义，可知△BDC与原△ABC相似，根据相似三角形对应角相等得出∠BCD=∠A，将两个角相加即可求出∠ACB的度数。
(2) 解题思路：首先由△ACD是以CD为底边的等腰三角形，得出AC=AD；再根据完美分割线的定义得到△BCD∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例列方程，先求出BD的长度（注意线段长度为正，需舍去负根），最后再根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长。
【解析】
(1)
∵AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形，∠ACD=∠A=48°。
根据完美分割线的定义，CD为完美分割线，△ACD为等腰三角形，则△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD + ∠BCD = 48°+48°=96°。
(2)
∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC=AD=2。
根据完美分割线的定义可得△BCD∽△BAC，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^2=BA·BD$。
设BD=x，则BA=AD+BD=x+2，将BC=$\sqrt{2}$代入得：
$(\sqrt{2})^2=x(x+2)$，整理为$x^2+2x-2=0$，
解得$x_1=\sqrt{3}-1$，$x_2=-\sqrt{3}-1$，
∵线段长度为正，
∴舍去负根，即$BD=\sqrt{3}-1$。
再由△BCD∽△BAC，得$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
代入AC=2，BD=$\sqrt{3}-1$，BC=$\sqrt{2}$得：$\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
解得$CD=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{96°}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于新定义类几何题，解题核心是准确理解“完美分割线”的定义，结合等腰三角形和相似三角形的性质逐步推导，计算线段长度时要结合实际意义舍去负根，考查了对新定义的理解能力、几何推理能力和代数计算能力。
【难度系数】
0.6