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1. 找规律，并按规律填上第5个数：
$-\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{4}, -\dfrac{7}{8}, \dfrac{9}{16}, \underline{\hspace{5cm}}$。
$-\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{4}, -\dfrac{7}{8}, \dfrac{9}{16}, \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
解：
观察数列的组成规律：
1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，第5个数是奇数项，符号为负；
2. 分子规律：分子依次为3、5、7、9，是连续的正奇数，第n个数的分子为$2n+1$，当$n=5$时，分子为$2×5+1=11$；
3. 分母规律：分母依次为2、4、8、16，后一个分母是前一个分母的2倍，第n个数的分母为$2^n$，当$n=5$时，分母为$2^5=32$。
因此第5个数是$\boldsymbol{-\dfrac{11}{32}}$。
观察数列的组成规律：
1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，第5个数是奇数项，符号为负；
2. 分子规律：分子依次为3、5、7、9，是连续的正奇数，第n个数的分子为$2n+1$，当$n=5$时，分子为$2×5+1=11$；
3. 分母规律：分母依次为2、4、8、16，后一个分母是前一个分母的2倍，第n个数的分母为$2^n$，当$n=5$时，分母为$2^5=32$。
因此第5个数是$\boldsymbol{-\dfrac{11}{32}}$。
2.观察下列关于x的单项式，探究其规律：$x,3x^2,5x^3,7x^4,9x^5,11x^6,\dots$。按照上述规律，第2026个单项式是。
答案
解：
观察所给单项式可得规律：
第n个单项式的系数为$2n-1$，$x$的次数为$n$。
当$n=2026$时，
系数为$2×2026 -1=4051$，
$x$的次数为$2026$，
因此第2026个单项式是$4051x^{2026}$。
观察所给单项式可得规律：
第n个单项式的系数为$2n-1$，$x$的次数为$n$。
当$n=2026$时，
系数为$2×2026 -1=4051$，
$x$的次数为$2026$，
因此第2026个单项式是$4051x^{2026}$。
3.刘老师接到一个紧急通知，需要尽快用电话通知全班45名同学。如果每通知一名同学需要1 min，且接到通知的同学可以立即帮助通知其他人，那么要使所有同学都接到通知，最快需要min。
答案
解：
我们先推导每分钟结束后接到通知的同学总数的规律：
第1分钟：刘老师通知1名同学，接到通知的同学共1名，即$2^1 -1 =1$；
第2分钟：刘老师和已通知的1名同学各通知1人，新增2名同学，接到通知的同学共$1+2=3$名，即$2^2 -1=3$；
第3分钟：所有已获知消息的4人各通知1人，新增4名同学，接到通知的同学共$3+4=7$名，即$2^3 -1=7$；
以此类推，第n分钟结束时，接到通知的同学总数为$2^n -1$。
代入数值验证：
当$n=5$时，$2^5 -1=31$，$31＜45$，无法通知完全班同学；
当$n=6$时，$2^6 -1=63$，$63＞45$，可以覆盖全部45名同学。
所以最快需要$\boldsymbol{6}$ min。
我们先推导每分钟结束后接到通知的同学总数的规律：
第1分钟：刘老师通知1名同学，接到通知的同学共1名，即$2^1 -1 =1$；
第2分钟：刘老师和已通知的1名同学各通知1人，新增2名同学，接到通知的同学共$1+2=3$名，即$2^2 -1=3$；
第3分钟：所有已获知消息的4人各通知1人，新增4名同学，接到通知的同学共$3+4=7$名，即$2^3 -1=7$；
以此类推，第n分钟结束时，接到通知的同学总数为$2^n -1$。
代入数值验证：
当$n=5$时，$2^5 -1=31$，$31＜45$，无法通知完全班同学；
当$n=6$时，$2^6 -1=63$，$63＞45$，可以覆盖全部45名同学。
所以最快需要$\boldsymbol{6}$ min。
4.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型。在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型$2^n$来表示，即$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$，…。请你推算$2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2026}$的个位数字是。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
观察可得，2的正整数次幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环，循环周期为4。
每一个周期内4个项的个位数字之和为：$2+4+8+6=20$，即连续4个项的和的个位数字为0。
计算2026除以周期4的结果：
$2026 ÷ 4 = 506······2$
即从$2^1$到$2^{2026}$共有506个完整的循环周期，剩余最后两项的个位数字分别对应周期的前两个数：2、4。
因此所求式子的和的个位数字为：
$0 + 2 + 4 = 6$
观察可得，2的正整数次幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环，循环周期为4。
每一个周期内4个项的个位数字之和为：$2+4+8+6=20$，即连续4个项的和的个位数字为0。
计算2026除以周期4的结果：
$2026 ÷ 4 = 506······2$
即从$2^1$到$2^{2026}$共有506个完整的循环周期，剩余最后两项的个位数字分别对应周期的前两个数：2、4。
因此所求式子的和的个位数字为：
$0 + 2 + 4 = 6$
5. 2026年是马年，2049年是年。
答案
蛇
解析
解：
2049 - 2026 = 23
生肖以12年为一个循环周期，23 ÷ 12 = 1……11
从马年开始向后数11个生肖，依次为羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇，因此2049年对应的生肖为蛇。
2049 - 2026 = 23
生肖以12年为一个循环周期，23 ÷ 12 = 1……11
从马年开始向后数11个生肖，依次为羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇，因此2049年对应的生肖为蛇。
6. 提升题如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3。先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字的点与数轴上表示2026的点重合。
重合。
重合。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：
由题意可得圆向右滚动时，数轴上的点与圆周上数字的对应规律：
数轴上表示-1的点对应数字0，
数轴上表示0的点对应数字1，
数轴上表示1的点对应数字2，
数轴上表示2的点对应数字3，
数轴上表示3的点对应数字0，
……
每4个结果为一个循环，循环序列为0,1,2,3。
计算从-1到2026的总滚动单位长度：
$2026 - (-1) = 2027$
$2027 ÷ 4 = 506······3$
余数为3，对应循环中的第3个数字3。
由题意可得圆向右滚动时，数轴上的点与圆周上数字的对应规律：
数轴上表示-1的点对应数字0，
数轴上表示0的点对应数字1，
数轴上表示1的点对应数字2，
数轴上表示2的点对应数字3，
数轴上表示3的点对应数字0，
……
每4个结果为一个循环，循环序列为0,1,2,3。
计算从-1到2026的总滚动单位长度：
$2026 - (-1) = 2027$
$2027 ÷ 4 = 506······3$
余数为3，对应循环中的第3个数字3。
7. 提升题 如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题。
(1)在B处的数是正数还是负数？
(2)在A,B,C,D中哪个位置的数是正数？
(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应A,B,C,D,E中的哪个位置？
(1)在B处的数是正数还是负数？
(2)在A,B,C,D中哪个位置的数是正数？
(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应A,B,C,D,E中的哪个位置？
答案
解：
(1) 观察排列规律，B处对应的数均为奇数，符号为负，因此在B处的数是负数。
(2) 观察可得：A位置的数为4的倍数，是正数；B位置的数是负数；C位置的数为2的奇数倍，是正数；D位置的数是负数。因此A、C位置的数是正数。
(3) 由规律可知，所有奇数对应的数为负数，所有偶数对应的数为正数。
因为2023是奇数，所以第2023个数是负数。
计算得：$2023÷4=505······3$
对照4个数一循环的位置规律，余数为3的数排在D位置。
综上，第2023个数是负数，排在D位置。
(1) 观察排列规律，B处对应的数均为奇数，符号为负，因此在B处的数是负数。
(2) 观察可得：A位置的数为4的倍数，是正数；B位置的数是负数；C位置的数为2的奇数倍，是正数；D位置的数是负数。因此A、C位置的数是正数。
(3) 由规律可知，所有奇数对应的数为负数，所有偶数对应的数为正数。
因为2023是奇数，所以第2023个数是负数。
计算得：$2023÷4=505······3$
对照4个数一循环的位置规律，余数为3的数排在D位置。
综上，第2023个数是负数，排在D位置。
