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（1）云南地形复杂，许多自然景观都呈现出三角形的结构。有一座山的横截面是三角形，三个内角中，有两个角度数相等，第三个角的度数是这两个角的度数之和，这个三角形是()。
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要用到三角形内角和为180°的基础性质，结合题目给出的角的数量关系推导：题目中两个角度数相等，第三个角是这两个角的度数之和，我们可以把两个相等的角各看作1份，第三个角就是2份，三个角总份数对应内角和180°，先求出每份的度数，再算出最大角的度数，就能判断三角形的类型。
【解析】
1. 明确性质：任意三角形的内角和都是180°。
2. 梳理份数关系：把两个相等的角的度数各看作1份，第三个角的度数就是1+1=2份，三个角的总份数为$1+1+2=4$份。
3. 计算单份度数：$180°÷4=45°$。
4. 计算最大角的度数：最大的角是第三个角，度数为$45°×2=90°$。
5. 判断三角形类型：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形的分类
【点评】
本题结合和倍关系考查三角形相关基础性质，解题核心是通过角的数量关系求出最大角的度数，能够有效检验学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要用到三角形内角和为180°的基础性质，结合题目给出的角的数量关系推导：题目中两个角度数相等，第三个角是这两个角的度数之和，我们可以把两个相等的角各看作1份，第三个角就是2份，三个角总份数对应内角和180°，先求出每份的度数，再算出最大角的度数，就能判断三角形的类型。
【解析】
1. 明确性质：任意三角形的内角和都是180°。
2. 梳理份数关系：把两个相等的角的度数各看作1份，第三个角的度数就是1+1=2份，三个角的总份数为$1+1+2=4$份。
3. 计算单份度数：$180°÷4=45°$。
4. 计算最大角的度数：最大的角是第三个角，度数为$45°×2=90°$。
5. 判断三角形类型：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；三角形的分类
【点评】
本题结合和倍关系考查三角形相关基础性质，解题核心是通过角的数量关系求出最大角的度数，能够有效检验学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
（2）一个三角形，其中有一个角是$65°$，另外两个角不可能是（）。
A.$80°$和$35°$
B.$70°$和$55°$
C.$40°$和$75°$
A.$80°$和$35°$
B.$70°$和$55°$
C.$40°$和$75°$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查三角形内角和的应用，解题思路是：首先我们知道三角形的三个内角度数之和是180°，已知其中一个角是65°，那么另外两个角的度数之和一定等于180°减去65°的差，我们只需要分别计算每个选项中两个角的度数和，和这个差不相等的就是不可能的情况。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算剩余两个角的度数和：
$180° - 65° = 115°$
逐一计算选项中两个角的和：
A选项：$80° + 35° = 115°$，符合要求；
B选项：$70° + 55° = 125° ≠ 115°$，不符合要求；
C选项：$40° + 75° = 115°$，符合要求。
因此另外两个角不可能是B选项的两个角。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题核心是先求出未知两个角的度数总和，再通过计算对比选项快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
这道题考查三角形内角和的应用，解题思路是：首先我们知道三角形的三个内角度数之和是180°，已知其中一个角是65°，那么另外两个角的度数之和一定等于180°减去65°的差，我们只需要分别计算每个选项中两个角的度数和，和这个差不相等的就是不可能的情况。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算剩余两个角的度数和：
$180° - 65° = 115°$
逐一计算选项中两个角的和：
A选项：$80° + 35° = 115°$，符合要求；
B选项：$70° + 55° = 125° ≠ 115°$，不符合要求；
C选项：$40° + 75° = 115°$，符合要求。
因此另外两个角不可能是B选项的两个角。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题核心是先求出未知两个角的度数总和，再通过计算对比选项快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
(3)一个等腰钝角三角形,它的一个底角的度数不可能是()。
A.$25°$
B.$38°$
C.$45°$
A.$25°$
B.$38°$
C.$45°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合三角形内角和、等腰三角形和钝角三角形的性质推导底角的取值范围，再对比选项判断即可。首先明确：等腰三角形两个底角度数相等，钝角三角形有一个角是大于90°的钝角，三角形内角和固定为180°。因为钝角是顶角，所以两个底角的和一定小于90°，由此就能算出单个底角的最大可能度数，再筛选不符合的选项。
【解析】
1. 明确相关性质：
① 等腰钝角三角形的顶角是钝角（大于90°且小于180°），两个底角度数相等；
② 三角形内角和为180°。
2. 计算底角的范围：
两个底角的度数和 = 180° - 顶角度数，因为顶角＞90°，所以两个底角的和＜180°-90°=90°。
又因为两个底角相等，所以单个底角的度数＜90°÷2=45°。
3. 对比选项：
A选项25°＜45°，符合要求；B选项38°＜45°，符合要求；C选项45°不满足小于45°的要求，不可能是该三角形的底角。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形特点，钝角三角形特征
【点评】
本题综合考查三角形的基础性质，解题的关键是结合三类性质推导得出底角的取值范围，熟练掌握相关概念就能快速做出判断。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合三角形内角和、等腰三角形和钝角三角形的性质推导底角的取值范围，再对比选项判断即可。首先明确：等腰三角形两个底角度数相等，钝角三角形有一个角是大于90°的钝角，三角形内角和固定为180°。因为钝角是顶角，所以两个底角的和一定小于90°，由此就能算出单个底角的最大可能度数，再筛选不符合的选项。
【解析】
1. 明确相关性质：
① 等腰钝角三角形的顶角是钝角（大于90°且小于180°），两个底角度数相等；
② 三角形内角和为180°。
2. 计算底角的范围：
两个底角的度数和 = 180° - 顶角度数，因为顶角＞90°，所以两个底角的和＜180°-90°=90°。
又因为两个底角相等，所以单个底角的度数＜90°÷2=45°。
3. 对比选项：
A选项25°＜45°，符合要求；B选项38°＜45°，符合要求；C选项45°不满足小于45°的要求，不可能是该三角形的底角。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形特点，钝角三角形特征
【点评】
本题综合考查三角形的基础性质，解题的关键是结合三类性质推导得出底角的取值范围，熟练掌握相关概念就能快速做出判断。
【难度系数】
0.7
(4)下面()不能说明三角形的内角和是180度。
A.[图]
B.
C.[图]
A.[图]
B.
C.[图]
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个操作不能说明三角形内角和是180°，核心是看操作是否能验证三角形三个内角的和等于180°：要么能把三个内角拼合为180°的平角，要么能通过已知内角和的图形反向推导。我们逐个分析选项：
1. A选项是把三角形三个内角剪下来拼合，可观察拼合后是否为平角；
2. B选项是将直角三角形剪拼成长方形，可借助长方形的内角和推导三角形内角和；
3. C选项只是把三角形沿高剪成两个小三角形，没有涉及内角的拼合或相关推导。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：将三角形的∠1、∠2、∠3三个内角剪下后拼接，刚好拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°；
选项B：直角三角形剪拼后得到长方形，长方形4个内角都是90°，内角和为$4×90°=360°$，由此可推导出原直角三角形的内角和是180°；
选项C：仅将三角形沿高剪开得到两个小三角形，没有对原三角形的内角进行拼合或推导，无法说明原三角形内角和是180°。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和验证；平角特征；图形剪拼
【点评】
本题考查三角形内角和的验证方法，需要学生理解剪拼、折叠等验证思路的原理，能区分单纯剪切和验证内角和的操作的差异。
【难度系数】
0.7
要判断哪个操作不能说明三角形内角和是180°，核心是看操作是否能验证三角形三个内角的和等于180°：要么能把三个内角拼合为180°的平角，要么能通过已知内角和的图形反向推导。我们逐个分析选项：
1. A选项是把三角形三个内角剪下来拼合，可观察拼合后是否为平角；
2. B选项是将直角三角形剪拼成长方形，可借助长方形的内角和推导三角形内角和；
3. C选项只是把三角形沿高剪成两个小三角形，没有涉及内角的拼合或相关推导。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：将三角形的∠1、∠2、∠3三个内角剪下后拼接，刚好拼成一个平角，平角是180°，可以说明三角形内角和是180°；
选项B：直角三角形剪拼后得到长方形，长方形4个内角都是90°，内角和为$4×90°=360°$，由此可推导出原直角三角形的内角和是180°；
选项C：仅将三角形沿高剪开得到两个小三角形，没有对原三角形的内角进行拼合或推导，无法说明原三角形内角和是180°。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和验证；平角特征；图形剪拼
【点评】
本题考查三角形内角和的验证方法，需要学生理解剪拼、折叠等验证思路的原理，能区分单纯剪切和验证内角和的操作的差异。
【难度系数】
0.7
6.推理是我们学习数学经常用到的方法。如下图,把三角形ABC的边BC延长到点D,请你运用所学知识试着推理出:
∠1+∠2=∠4。
∠1+∠2=∠4。
答案
因为三角形内角和为180°，
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ 3$
又因为$∠ 3$和$∠ 4$组成平角，平角为180°，
$∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
所以 $∠ 4 = 180° - ∠ 3$
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4$。
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ 3$
又因为$∠ 3$和$∠ 4$组成平角，平角为180°，
$∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
所以 $∠ 4 = 180° - ∠ 3$
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4$。
解析
【分析】
要推导∠1+∠2=∠4，我们可以通过寻找两个式子的共同等量关系来证明：首先回忆三角形内角和是180°，可以先在△ABC中把∠1+∠2用含有∠3的式子表示出来；再根据平角的度数是180°，把∠4也用含有∠3的式子表示，最后对比两个式子就能得出结论。
【解析】
因为三角形内角和为180°，
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ 3$
又因为$∠ 3$和$∠ 4$组成平角，平角为180°，
$∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
所以 $∠ 4 = 180° - ∠ 3$
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4$。
【答案】
$∠ 1+∠ 2=∠ 4$
【知识点】
三角形内角和；平角的特征；等量代换
【点评】
本题是三角形内角和与平角性质的综合应用，通过等量代换的方法推导出三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，能有效锻炼逻辑推理能力，是几何基础推导的典型题目。
【难度系数】
0.7
要推导∠1+∠2=∠4，我们可以通过寻找两个式子的共同等量关系来证明：首先回忆三角形内角和是180°，可以先在△ABC中把∠1+∠2用含有∠3的式子表示出来；再根据平角的度数是180°，把∠4也用含有∠3的式子表示，最后对比两个式子就能得出结论。
【解析】
因为三角形内角和为180°，
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$
所以 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ 3$
又因为$∠ 3$和$∠ 4$组成平角，平角为180°，
$∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
所以 $∠ 4 = 180° - ∠ 3$
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4$。
【答案】
$∠ 1+∠ 2=∠ 4$
【知识点】
三角形内角和；平角的特征；等量代换
【点评】
本题是三角形内角和与平角性质的综合应用，通过等量代换的方法推导出三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，能有效锻炼逻辑推理能力，是几何基础推导的典型题目。
【难度系数】
0.7
7. 帕斯卡与“三角形内角和”的故事。
帕斯卡是法国著名的数学家。他在十几岁时就发现:平面上任何一个三角形的内角和都是$180°$。那么他是怎么证明的呢?
平面上任意一个直角三角形都可以看作把长方形剪开得到的,每一个长方形的内角和是$360°$(由4个直角组成),它恰好包含了两个直角三角形的6个内角,所以一个直角三角形的内角和是$360° ÷ 2 = 180°$。在此基础上,他证明了任意锐角三角形的内角和是$180°$。
如上图所示,在锐角三角形内作一条高,会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是$180°$,所以除直角外的两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$,即$∠ 1 + ∠ 4 = 90°$, $∠ 2 + ∠ 3 = 90°$;而$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$、$∠ 4$恰好组成了原来大锐角三角形的3个内角,即可得出任意锐角三角形的内角和为$90° + 90° = 180°$。
你看明白了吗? 怎么证明钝角三角形的内角和也是$180°$呢? 赶紧找个钝角三角形试一试吧。
帕斯卡是法国著名的数学家。他在十几岁时就发现:平面上任何一个三角形的内角和都是$180°$。那么他是怎么证明的呢?
平面上任意一个直角三角形都可以看作把长方形剪开得到的,每一个长方形的内角和是$360°$(由4个直角组成),它恰好包含了两个直角三角形的6个内角,所以一个直角三角形的内角和是$360° ÷ 2 = 180°$。在此基础上,他证明了任意锐角三角形的内角和是$180°$。
如上图所示,在锐角三角形内作一条高,会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是$180°$,所以除直角外的两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$,即$∠ 1 + ∠ 4 = 90°$, $∠ 2 + ∠ 3 = 90°$;而$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$、$∠ 4$恰好组成了原来大锐角三角形的3个内角,即可得出任意锐角三角形的内角和为$90° + 90° = 180°$。
你看明白了吗? 怎么证明钝角三角形的内角和也是$180°$呢? 赶紧找个钝角三角形试一试吧。
答案
已知直角三角形的内角和是$180°$。
在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割为两个直角三角形。
每个直角三角形除直角外的两个锐角的和为：
$180° - 90° = 90°$
两个直角三角形的非直角锐角总和为：
$90° + 90° = 180°$
这四个锐角恰好组成原钝角三角形的三个内角。
答：钝角三角形的内角和是$180°$。
在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割为两个直角三角形。
每个直角三角形除直角外的两个锐角的和为：
$180° - 90° = 90°$
两个直角三角形的非直角锐角总和为：
$90° + 90° = 180°$
这四个锐角恰好组成原钝角三角形的三个内角。
答：钝角三角形的内角和是$180°$。
解析
【分析】
我们已经掌握了直角三角形内角和是180°的结论，要证明钝角三角形的内角和，可以参考锐角三角形的推导思路，用转化的方法，把陌生的钝角三角形转化为已经熟悉的直角三角形来计算。首先思考如何分割钝角三角形：从钝角的顶点向它的对边作高，就能把钝角三角形分成两个直角三角形；接着计算两个直角三角形的非直角锐角总和，最后确认这些锐角刚好对应原钝角三角形的三个内角，就能推导出结论。
【解析】
已知直角三角形的内角和是$180°$。
1. 在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割为两个直角三角形。
2. 计算每个直角三角形除直角外的两个锐角的和：$180° - 90° = 90°$
3. 计算两个直角三角形的非直角锐角总和：$90° + 90° = 180°$
4. 观察可知这四个锐角恰好组成原钝角三角形的三个内角，因此钝角三角形的内角和为$180°$。
【答案】
钝角三角形的内角和是$180°$
【知识点】
三角形内角和；三角形的高；转化法解题
【点评】
本题借助数学家帕斯卡证明三角形内角和的思路，引导学生利用已学的直角三角形内角和知识，通过图形分割的方法推导钝角三角形的内角和，能够培养学生的逻辑推理能力和转化思维，感受数学探究的严谨性与方法性。
【难度系数】
0.7
我们已经掌握了直角三角形内角和是180°的结论，要证明钝角三角形的内角和，可以参考锐角三角形的推导思路，用转化的方法，把陌生的钝角三角形转化为已经熟悉的直角三角形来计算。首先思考如何分割钝角三角形：从钝角的顶点向它的对边作高，就能把钝角三角形分成两个直角三角形；接着计算两个直角三角形的非直角锐角总和，最后确认这些锐角刚好对应原钝角三角形的三个内角，就能推导出结论。
【解析】
已知直角三角形的内角和是$180°$。
1. 在钝角三角形中，从钝角的顶点向它的对边作高，将钝角三角形分割为两个直角三角形。
2. 计算每个直角三角形除直角外的两个锐角的和：$180° - 90° = 90°$
3. 计算两个直角三角形的非直角锐角总和：$90° + 90° = 180°$
4. 观察可知这四个锐角恰好组成原钝角三角形的三个内角，因此钝角三角形的内角和为$180°$。
【答案】
钝角三角形的内角和是$180°$
【知识点】
三角形内角和；三角形的高；转化法解题
【点评】
本题借助数学家帕斯卡证明三角形内角和的思路，引导学生利用已学的直角三角形内角和知识，通过图形分割的方法推导钝角三角形的内角和，能够培养学生的逻辑推理能力和转化思维，感受数学探究的严谨性与方法性。
【难度系数】
0.7
