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6.用3厘米、8厘米的小棒各一根和第三根小棒(取整厘米数)围成一个三角形,有()种围法。
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根小棒的长度分别是3厘米和8厘米，先根据三边关系求出第三根小棒的长度范围，再筛选出范围内的整厘米数，数出符合要求的数的个数，就是对应的围法数量。
【解析】
设第三根小棒的长度为x厘米（x为整厘米数）。
根据三角形三边关系可得：
1. 两边之和大于第三边：3 + 8 ＞ x，即x ＜ 11；
2. 两边之差小于第三边：8 - 3 ＜ x，即x ＞ 5。
综合可得x的取值范围是：5 ＜ x ＜ 11。
因为x取整厘米数，所以x可以是6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米，共5种可能，对应有5种围法。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、整数取值应用
【点评】
本题核心考查对三角形三边关系的灵活运用，解题关键是准确推导第三边的取值范围，注意要排除不符合条件的边界值（5厘米和11厘米），再结合整厘米的要求筛选出所有符合的长度即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根小棒的长度分别是3厘米和8厘米，先根据三边关系求出第三根小棒的长度范围，再筛选出范围内的整厘米数，数出符合要求的数的个数，就是对应的围法数量。
【解析】
设第三根小棒的长度为x厘米（x为整厘米数）。
根据三角形三边关系可得：
1. 两边之和大于第三边：3 + 8 ＞ x，即x ＜ 11；
2. 两边之差小于第三边：8 - 3 ＜ x，即x ＞ 5。
综合可得x的取值范围是：5 ＜ x ＜ 11。
因为x取整厘米数，所以x可以是6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米，共5种可能，对应有5种围法。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、整数取值应用
【点评】
本题核心考查对三角形三边关系的灵活运用，解题关键是准确推导第三边的取值范围，注意要排除不符合条件的边界值（5厘米和11厘米），再结合整厘米的要求筛选出所有符合的长度即可。
【难度系数】
0.7
7.已知线段m、n是等腰三角形的两条边，用无刻度的直尺和圆规画出这个等腰三角形。（画出所有可能。）
答案
解：
情况1：尝试作腰长为m、底边长为n的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线AP，用圆规在射线AP上截取线段AB，使AB = n；
2. 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径画弧，两弧交于点C；
3. 连接AC、BC，得到△ABC。
验证：m+m ＞ n，满足三角形三边关系，该等腰三角形可以作出。
情况2：尝试作腰长为n、底边长为m的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线BQ，用圆规在射线BQ上截取线段DE，使DE = m；
2. 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径画弧，两弧没有交点。
验证：n+n ＜ m，不满足三角形三边关系，该等腰三角形无法作出。
答：所有可画出的等腰三角形仅为以m为腰、n为底的等腰三角形，按情况1的步骤作图即可。
情况1：尝试作腰长为m、底边长为n的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线AP，用圆规在射线AP上截取线段AB，使AB = n；
2. 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径画弧，两弧交于点C；
3. 连接AC、BC，得到△ABC。
验证：m+m ＞ n，满足三角形三边关系，该等腰三角形可以作出。
情况2：尝试作腰长为n、底边长为m的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线BQ，用圆规在射线BQ上截取线段DE，使DE = m；
2. 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径画弧，两弧没有交点。
验证：n+n ＜ m，不满足三角形三边关系，该等腰三角形无法作出。
答：所有可画出的等腰三角形仅为以m为腰、n为底的等腰三角形，按情况1的步骤作图即可。
解析
【分析】
解题首先要明确等腰三角形有两条边长度相等的特征，因此已知两条线段m、n作为等腰三角形的边，需要分两种情况讨论：第一种是m为腰、n为底，第二种是n为腰、m为底。接下来要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，满足三边关系的情况再按照尺规作图的步骤画出对应三角形即可。
【解析】
我们分两种情况分别验证、作图：
情况1：作腰长为m、底边长为n的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线AP，用圆规量取线段n的长度，在射线AP上截取线段AB，使AB = n；
2. 将圆规两脚张开到线段m的长度，分别以点A、点B为圆心画弧，两弧交于点C；
3. 用直尺连接AC、BC，得到△ABC。
验证：两条腰长度均为m，m+m ＞ n，满足三角形三边关系，该等腰三角形可以作出。
情况2：尝试作腰长为n、底边长为m的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线BQ，用圆规量取线段m的长度，在射线BQ上截取线段DE，使DE = m；
2. 将圆规两脚张开到线段n的长度，分别以点D、点E为圆心画弧，发现两弧没有交点。
验证：两条腰长度均为n，n+n ＜ m，不满足三角形三边关系，该等腰三角形无法作出。
【答案】
仅能画出腰长为m、底边长为n的等腰三角形，作图步骤为：1. 画射线AP，在AP上截取AB=n；2. 分别以A、B为圆心，m的长度为半径画弧，两弧交于点C；3. 连接AC、BC，△ABC即为所求。
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系，尺规作图
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，要先根据等腰三角形的特征分情况讨论，再通过三边关系判断是否能构成三角形，避免盲目作图出现错误，能有效培养严谨的几何作图习惯。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确等腰三角形有两条边长度相等的特征，因此已知两条线段m、n作为等腰三角形的边，需要分两种情况讨论：第一种是m为腰、n为底，第二种是n为腰、m为底。接下来要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，满足三边关系的情况再按照尺规作图的步骤画出对应三角形即可。
【解析】
我们分两种情况分别验证、作图：
情况1：作腰长为m、底边长为n的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线AP，用圆规量取线段n的长度，在射线AP上截取线段AB，使AB = n；
2. 将圆规两脚张开到线段m的长度，分别以点A、点B为圆心画弧，两弧交于点C；
3. 用直尺连接AC、BC，得到△ABC。
验证：两条腰长度均为m，m+m ＞ n，满足三角形三边关系，该等腰三角形可以作出。
情况2：尝试作腰长为n、底边长为m的等腰三角形
1. 用无刻度直尺画射线BQ，用圆规量取线段m的长度，在射线BQ上截取线段DE，使DE = m；
2. 将圆规两脚张开到线段n的长度，分别以点D、点E为圆心画弧，发现两弧没有交点。
验证：两条腰长度均为n，n+n ＜ m，不满足三角形三边关系，该等腰三角形无法作出。
【答案】
仅能画出腰长为m、底边长为n的等腰三角形，作图步骤为：1. 画射线AP，在AP上截取AB=n；2. 分别以A、B为圆心，m的长度为半径画弧，两弧交于点C；3. 连接AC、BC，△ABC即为所求。
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系，尺规作图
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，要先根据等腰三角形的特征分情况讨论，再通过三边关系判断是否能构成三角形，避免盲目作图出现错误，能有效培养严谨的几何作图习惯。
【难度系数】
0.6
8.如图,有两根竹签,长度分别为4 cm和7 cm。如果剪断其中的一根(剪成整厘米数),用剪后的三根竹签拼成一个三角形,可以怎样剪?请写出你的思考过程。
答案
若剪断4 cm的竹签，剪成两段后，两段长度之和为4 cm，4 cm ＜ 7 cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法拼成三角形。
因此只能剪断7 cm的竹签，将7 cm的竹签剪成两段整厘米数的长度，逐一验证：
剪成1 cm和6 cm：$1+4=5＜6$，不能拼成三角形；
剪成2 cm和5 cm：$2+4＞5$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形；
剪成3 cm和4 cm：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
答：可以剪断7 cm的竹签，共有两种剪法：①将7 cm竹签剪成2 cm和5 cm的两段；②将7 cm竹签剪成3 cm和4 cm的两段。
因此只能剪断7 cm的竹签，将7 cm的竹签剪成两段整厘米数的长度，逐一验证：
剪成1 cm和6 cm：$1+4=5＜6$，不能拼成三角形；
剪成2 cm和5 cm：$2+4＞5$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形；
剪成3 cm和4 cm：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
答：可以剪断7 cm的竹签，共有两种剪法：①将7 cm竹签剪成2 cm和5 cm的两段；②将7 cm竹签剪成3 cm和4 cm的两段。
解析
【分析】
解题要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先先判断可以剪断哪根竹签：如果剪断4cm的竹签，剪成的两段长度总和是4cm，这两段加起来都比7cm小，和7cm搭配时不满足三边关系，肯定拼不成三角形，所以只能剪断7cm的竹签。接下来把7cm拆成两个整厘米数的长度，再分别和4cm搭配，逐一验证是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 筛选可剪断的竹签：
若剪断4 cm的竹签，剪成的两段长度之和为4 cm，4 cm ＜ 7 cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法拼成三角形，因此只能剪断7 cm的竹签。
2. 枚举7cm剪成整厘米两段的所有情况，逐一验证：
剪成1 cm和6 cm：$1+4=5＜6$，不满足三边关系，不能拼成三角形；
剪成2 cm和5 cm：$2+4＞5$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形；
剪成3 cm和4 cm：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
【答案】
可以剪断7 cm的竹签，共有两种剪法：①将7 cm竹签剪成2 cm和5 cm的两段；②将7 cm竹签剪成3 cm和4 cm的两段。
【知识点】
三角形三边关系、有序枚举
【点评】
本题需要先结合三角形三边关系排除不可能的剪断方案，再通过有序枚举逐一验证可行的剪法，能够很好地考查对三角形三边关系的理解应用能力和逻辑思考能力。
【难度系数】
0.6
解题要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先先判断可以剪断哪根竹签：如果剪断4cm的竹签，剪成的两段长度总和是4cm，这两段加起来都比7cm小，和7cm搭配时不满足三边关系，肯定拼不成三角形，所以只能剪断7cm的竹签。接下来把7cm拆成两个整厘米数的长度，再分别和4cm搭配，逐一验证是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 筛选可剪断的竹签：
若剪断4 cm的竹签，剪成的两段长度之和为4 cm，4 cm ＜ 7 cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法拼成三角形，因此只能剪断7 cm的竹签。
2. 枚举7cm剪成整厘米两段的所有情况，逐一验证：
剪成1 cm和6 cm：$1+4=5＜6$，不满足三边关系，不能拼成三角形；
剪成2 cm和5 cm：$2+4＞5$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形；
剪成3 cm和4 cm：$3+4＞4$，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
【答案】
可以剪断7 cm的竹签，共有两种剪法：①将7 cm竹签剪成2 cm和5 cm的两段；②将7 cm竹签剪成3 cm和4 cm的两段。
【知识点】
三角形三边关系、有序枚举
【点评】
本题需要先结合三角形三边关系排除不可能的剪断方案，再通过有序枚举逐一验证可行的剪法，能够很好地考查对三角形三边关系的理解应用能力和逻辑思考能力。
【难度系数】
0.6
9.露营时要搭三角形帐篷支架，已有两根竹竿，长度分别是7米和10米，再找一根多长的竹竿（取整米数），才能搭成一个三角形支架？请写出你的思考过程。
答案
10 - 7 = 3（米）
10 + 7 = 17（米）
第三根竹竿的长度需要大于3米且小于17米，取整米数，符合条件的长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
答：再找一根长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米或16米的竹竿，就能搭成三角形支架。
10 + 7 = 17（米）
第三根竹竿的长度需要大于3米且小于17米，取整米数，符合条件的长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
答：再找一根长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米或16米的竹竿，就能搭成三角形支架。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到三角形三边关系确定第三根竹竿的长度范围。首先回忆三角形的三边规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根竹竿长7米和10米，先算出这两条边的和与差，就能得到第三边的取值范围，再结合“取整米数”的要求就能找出所有符合条件的长度。要注意：如果第三边长度等于两边的差或两边的和，是无法拼成三角形的，所以取值范围不包含这两个边界值。
【解析】
第一步：计算已知两条边的长度差：$10 - 7 = 3$（米）
第二步：计算已知两条边的长度和：$10 + 7 = 17$（米）
根据三角形三边关系，第三根竹竿的长度需要大于3米且小于17米。
题目要求取整米数，因此符合条件的长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
【答案】
再找一根长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米或16米的竹竿，就能搭成三角形支架。
【知识点】
三角形三边关系、整数取值判断
【点评】
这道题结合生活场景考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意排除边界值，同时满足整米数的要求，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到三角形三边关系确定第三根竹竿的长度范围。首先回忆三角形的三边规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根竹竿长7米和10米，先算出这两条边的和与差，就能得到第三边的取值范围，再结合“取整米数”的要求就能找出所有符合条件的长度。要注意：如果第三边长度等于两边的差或两边的和，是无法拼成三角形的，所以取值范围不包含这两个边界值。
【解析】
第一步：计算已知两条边的长度差：$10 - 7 = 3$（米）
第二步：计算已知两条边的长度和：$10 + 7 = 17$（米）
根据三角形三边关系，第三根竹竿的长度需要大于3米且小于17米。
题目要求取整米数，因此符合条件的长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
【答案】
再找一根长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米或16米的竹竿，就能搭成三角形支架。
【知识点】
三角形三边关系、整数取值判断
【点评】
这道题结合生活场景考查三角形三边关系的实际应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意排除边界值，同时满足整米数的要求，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
10. A、C两城之间有两条公路。一辆汽车从A城出发，经过B城到C城，用了5小时。
（1）返回时汽车每小时比原来少行驶10千米，从C城回到A城至少需要用多少小时？
（2）现在计划新建一条公路，使B城与公路AC连通，怎样设计路程最短？在图上画出来。
（1）返回时汽车每小时比原来少行驶10千米，从C城回到A城至少需要用多少小时？
（2）现在计划新建一条公路，使B城与公路AC连通，怎样设计路程最短？在图上画出来。
答案
（1）
168 + 132 = 300（千米）
300 ÷ 5 = 60（千米/时）
60 - 10 = 50（千米/时）
250 ÷ 50 = 5（小时）
答：从C城回到A城至少需要用5小时。
（2）
过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短。
作图：将三角板的一条直角边与公路AC完全重合，沿AC平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从B点向AC边画线段，线段与AC的交点为垂足，得到的这条垂线段就是所求的最短新建公路。
168 + 132 = 300（千米）
300 ÷ 5 = 60（千米/时）
60 - 10 = 50（千米/时）
250 ÷ 50 = 5（小时）
答：从C城回到A城至少需要用5小时。
（2）
过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短。
作图：将三角板的一条直角边与公路AC完全重合，沿AC平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从B点向AC边画线段，线段与AC的交点为垂足，得到的这条垂线段就是所求的最短新建公路。
解析
【分析】
（1）要计算从C城回A城的最少时间，首先要选择最短的路线，也就是直接走C到A的250千米公路。首先需要先求出去时汽车的行驶速度：去时走的是A→B→C的路线，先把A到B、B到C的路程相加得到去时总路程，再用总路程除以行驶时间得到原来的速度；返回时速度比原来少10千米/时，算出返回速度后，用AC的路程除以返回速度就能得到最少用时。
（2）根据点到直线的距离的性质，点到直线的所有线段中垂线段最短，所以只需要过B点向公路AC作垂线段，沿这条垂线段修公路路程最短。
【解析】
（1）首先计算去时的总路程：
$168 + 132 = 300$（千米）
再计算去时的行驶速度：
$300 ÷ 5 = 60$（千米/时）
返回时的速度为：
$60 - 10 = 50$（千米/时）
返回走最短路线AC，所需最少时间为：
$250 ÷ 50 = 5$（小时）
（2）设计原理：点到直线的线段中，垂线段最短，因此过点B向公路AC作垂线段，沿这条垂线段修建公路路程最短。
作图方法：将三角板的一条直角边与公路AC完全重合，沿AC平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从B点向AC边画线段，线段与AC的交点为垂足，得到的这条垂线段就是所求的最短新建公路。
【答案】
（1）从C城回到A城至少需要用5小时。
（2）过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，作图方法见解析。
【知识点】
1. 行程问题计算
2. 垂线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了行程问题中路程、速度、时间三者关系的灵活运用，又考查了垂线段最短这一几何性质的实际应用，需要学生先理清题意，分步分析解决问题，能很好地锻炼学生的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要计算从C城回A城的最少时间，首先要选择最短的路线，也就是直接走C到A的250千米公路。首先需要先求出去时汽车的行驶速度：去时走的是A→B→C的路线，先把A到B、B到C的路程相加得到去时总路程，再用总路程除以行驶时间得到原来的速度；返回时速度比原来少10千米/时，算出返回速度后，用AC的路程除以返回速度就能得到最少用时。
（2）根据点到直线的距离的性质，点到直线的所有线段中垂线段最短，所以只需要过B点向公路AC作垂线段，沿这条垂线段修公路路程最短。
【解析】
（1）首先计算去时的总路程：
$168 + 132 = 300$（千米）
再计算去时的行驶速度：
$300 ÷ 5 = 60$（千米/时）
返回时的速度为：
$60 - 10 = 50$（千米/时）
返回走最短路线AC，所需最少时间为：
$250 ÷ 50 = 5$（小时）
（2）设计原理：点到直线的线段中，垂线段最短，因此过点B向公路AC作垂线段，沿这条垂线段修建公路路程最短。
作图方法：将三角板的一条直角边与公路AC完全重合，沿AC平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从B点向AC边画线段，线段与AC的交点为垂足，得到的这条垂线段就是所求的最短新建公路。
【答案】
（1）从C城回到A城至少需要用5小时。
（2）过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，作图方法见解析。
【知识点】
1. 行程问题计算
2. 垂线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了行程问题中路程、速度、时间三者关系的灵活运用，又考查了垂线段最短这一几何性质的实际应用，需要学生先理清题意，分步分析解决问题，能很好地锻炼学生的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,要把一根长木棒锯成3段围成一个三角形,第一次已锯开(位置固定),第二次需在A、B、C中选一个点锯开,应选()点。
答案
B
解析
【分析】
解题需用到三角形的三边关系：三角形任意两边的长度和大于第三边。首先明确第一次锯下的木棒长度，再分别计算在A、B、C三点锯开后得到的三段木棒长度，逐一判断是否满足三角形三边关系，符合要求的点即为正确答案。
【解析】
我们将每一小段木棒的长度看作1份：
1. 第一次锯下的木棒长度为3份，剩余待锯的木棒长度为8份。
2. 若在A点锯开：得到的两段长度分别为2份、6份，三段总长度为2份、3份、6份。因为2+3=5＜6，不满足三角形三边关系，无法围成三角形。
3. 若在B点锯开：得到的两段长度分别为4份、4份，三段总长度为3份、4份、4份。因为3+4＞4，4+4＞3，满足三角形三边关系，可以围成三角形。
4. 若在C点锯开：得到的两段长度分别为7份、1份，三段总长度为1份、3份、7份。因为1+3=4＜7，不满足三角形三边关系，无法围成三角形。
综上，应选B点。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的生活应用类题目，只要牢记“三角形任意两边之和大于第三边”的规律，结合分段计算逐一验证，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题需用到三角形的三边关系：三角形任意两边的长度和大于第三边。首先明确第一次锯下的木棒长度，再分别计算在A、B、C三点锯开后得到的三段木棒长度，逐一判断是否满足三角形三边关系，符合要求的点即为正确答案。
【解析】
我们将每一小段木棒的长度看作1份：
1. 第一次锯下的木棒长度为3份，剩余待锯的木棒长度为8份。
2. 若在A点锯开：得到的两段长度分别为2份、6份，三段总长度为2份、3份、6份。因为2+3=5＜6，不满足三角形三边关系，无法围成三角形。
3. 若在B点锯开：得到的两段长度分别为4份、4份，三段总长度为3份、4份、4份。因为3+4＞4，4+4＞3，满足三角形三边关系，可以围成三角形。
4. 若在C点锯开：得到的两段长度分别为7份、1份，三段总长度为1份、3份、7份。因为1+3=4＜7，不满足三角形三边关系，无法围成三角形。
综上，应选B点。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的生活应用类题目，只要牢记“三角形任意两边之和大于第三边”的规律，结合分段计算逐一验证，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
