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1.判断：
（1）圆周角相等，其所对的弧也相等。 （
（2）两条弧相等，其所对的圆周角也相等。 （
（3）同弦所对的圆周角相等。 （
（1）圆周角相等，其所对的弧也相等。 （
×
）（2）两条弧相等，其所对的圆周角也相等。 （
√
）（3）同弦所对的圆周角相等。 （
×
）答案
1.(1)× (2)√ (3)×
解析
【分析】
解决这类判断题的核心是紧扣圆周角相关性质的成立条件，以及等弧、圆周角的定义：①首先回忆圆周角定理推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，反过来等弧所对的圆周角相等；②注意等弧的定义本身就隐含了“同圆或等圆”的前提（只有能完全重合的弧才叫等弧）；③同一条弦对应两类不同的圆周角，分别在弦的两侧，二者互补。解题时逐个验证每个说法是否符合上述规则即可。
【解析】
（1）只有在同圆或等圆的前提条件下，相等的圆周角所对的弧才相等，该说法没有给出适用前提，因此错误；
（2）根据等弧的定义，能够完全重合的弧才叫等弧，说明等弧一定存在于同圆或等圆中，因此等弧所对的圆周角一定相等，该说法正确；
（3）同一条弦所对的圆周角分两种情况：当两个圆周角在弦的同侧时相等，在弦的异侧时二者互补，因此同弦所对的圆周角不一定相等，该说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)×
【知识点】
圆周角定理推论，等弧的定义，同弦的圆周角特征
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础易错题，解题的关键是注意定理适用的前提条件，不要漏记同弦所对圆周角的两种情况，避免思维定式导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解决这类判断题的核心是紧扣圆周角相关性质的成立条件，以及等弧、圆周角的定义：①首先回忆圆周角定理推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，反过来等弧所对的圆周角相等；②注意等弧的定义本身就隐含了“同圆或等圆”的前提（只有能完全重合的弧才叫等弧）；③同一条弦对应两类不同的圆周角，分别在弦的两侧，二者互补。解题时逐个验证每个说法是否符合上述规则即可。
【解析】
（1）只有在同圆或等圆的前提条件下，相等的圆周角所对的弧才相等，该说法没有给出适用前提，因此错误；
（2）根据等弧的定义，能够完全重合的弧才叫等弧，说明等弧一定存在于同圆或等圆中，因此等弧所对的圆周角一定相等，该说法正确；
（3）同一条弦所对的圆周角分两种情况：当两个圆周角在弦的同侧时相等，在弦的异侧时二者互补，因此同弦所对的圆周角不一定相等，该说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)×
【知识点】
圆周角定理推论，等弧的定义，同弦的圆周角特征
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础易错题，解题的关键是注意定理适用的前提条件，不要漏记同弦所对圆周角的两种情况，避免思维定式导致判断错误。
【难度系数】
0.6
2. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ ABC = 71°$，$∠ CAB = 53°$，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，则$∠ ADB$的大小为
56°
。答案
2.56°
解析
【分析】
要求∠ADB的度数，首先观察角的位置：∠ADB和△ABC中的∠ACB都是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此只需先求出∠ACB的度数即可。求解∠ACB可直接利用三角形内角和为180°，结合已知的两个内角度数计算。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ ABC - ∠ CAB = 180° - 71° - 53° = 56°$
因为$∠ ADB$和$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ ADB = ∠ ACB = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到同弧所对的相等圆周角，结合三角形内角和即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求∠ADB的度数，首先观察角的位置：∠ADB和△ABC中的∠ACB都是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此只需先求出∠ACB的度数即可。求解∠ACB可直接利用三角形内角和为180°，结合已知的两个内角度数计算。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ ABC - ∠ CAB = 180° - 71° - 53° = 56°$
因为$∠ ADB$和$∠ ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ ADB = ∠ ACB = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到同弧所对的相等圆周角，结合三角形内角和即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
思考 2.（1）如图，BC 是$\odot O$的直径.请问：BC 所对的圆周角$∠ BAC$是锐角、直角还是钝角？为什么？
（2）如果圆周角$∠ BAC$是$90°$，那么BC一定是直径吗？为什么？
（2）如果圆周角$∠ BAC$是$90°$，那么BC一定是直径吗？为什么？
答案
2.(1)直角。理由:因为 BC 为直径,所以$∠BOC=180°$,所以$∠BAC=90°$。
(2)是。理由:因为$∠BAC=90°$,所以$∠BOC=180°$,所以 BC 为直径。
(2)是。理由:因为$∠BAC=90°$,所以$∠BOC=180°$,所以 BC 为直径。
解析
【分析】
本题可依据圆周角定理分析求解：
（1）要判断直径BC所对的圆周角∠BAC的类型，首先明确BC为直径时，它对应的圆心角∠BOC是平角，度数为180°；再根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半”，即可求出∠BAC的度数，判断角的类型。
（2）要判断∠BAC=90°时BC是否为直径，先由圆周角定理推出∠BAC所对的圆心角∠BOC的度数，若∠BOC为180°，说明B、O、C三点共线，结合O是圆心即可判定BC是直径。
【解析】
（1）∠BAC是直角，理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴弧BC所对的圆心角∠BOC=180°，
根据圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，故∠BAC是直角。
（2）BC一定是直径，理由如下：
∵∠BAC=90°，且∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×90°=180°$，
∴B、O、C三点在同一条直线上，
又
∵O是⊙O的圆心，
∴BC经过圆心O，即BC是⊙O的直径。
【答案】
(1)直角。理由:因为 BC 为直径,所以$∠BOC=180°$,所以$∠BAC=90°$。
(2)是。理由:因为$∠BAC=90°$,所以$∠BOC=180°$,所以 BC 为直径。
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、直径的判定
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用，考查了直径与90°圆周角之间的互推关系，这是圆中非常重要的基础结论，熟练掌握该结论可以为后续解决圆的计算、证明类问题提供便利。
【难度系数】
0.9
本题可依据圆周角定理分析求解：
（1）要判断直径BC所对的圆周角∠BAC的类型，首先明确BC为直径时，它对应的圆心角∠BOC是平角，度数为180°；再根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半”，即可求出∠BAC的度数，判断角的类型。
（2）要判断∠BAC=90°时BC是否为直径，先由圆周角定理推出∠BAC所对的圆心角∠BOC的度数，若∠BOC为180°，说明B、O、C三点共线，结合O是圆心即可判定BC是直径。
【解析】
（1）∠BAC是直角，理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴弧BC所对的圆心角∠BOC=180°，
根据圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，故∠BAC是直角。
（2）BC一定是直径，理由如下：
∵∠BAC=90°，且∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×90°=180°$，
∴B、O、C三点在同一条直线上，
又
∵O是⊙O的圆心，
∴BC经过圆心O，即BC是⊙O的直径。
【答案】
(1)直角。理由:因为 BC 为直径,所以$∠BOC=180°$,所以$∠BAC=90°$。
(2)是。理由:因为$∠BAC=90°$,所以$∠BOC=180°$,所以 BC 为直径。
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、直径的判定
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用，考查了直径与90°圆周角之间的互推关系，这是圆中非常重要的基础结论，熟练掌握该结论可以为后续解决圆的计算、证明类问题提供便利。
【难度系数】
0.9
3.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（
B
）。答案
3.B
解析
【分析】
要判断圆弧是否为半圆，可依据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。解题时需观察直角三角板与圆弧的位置关系：若直角三角板的直角顶点落在圆弧上，且直角的两条边与圆弧的交点恰好是圆弧的两个端点，说明该直角是圆弧所对的圆周角，对应的弧就是半圆。
【解析】
结合圆周角定理的推论逐一分析选项：
1. 选项A：圆弧的两个端点未落在直角三角板的两个锐角顶点处，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
2. 选项B：直角三角板的两个锐角顶点是圆弧的两个端点，且直角顶点落在圆弧上，此时90°角是该圆弧所对的圆周角，根据推论可知该圆弧为半圆，符合条件，正确。
3. 选项C：圆弧的两个端点在三角板斜边的同侧，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
4. 选项D：圆弧的端点未全部落在三角板的顶点上，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，半圆的判定
【点评】
本题是几何定理的实际应用类题目，解题的核心是掌握90°圆周角与直径、半圆的对应关系，需要学生具备结合图形分析位置关系的能力。
【难度系数】
0.7
要判断圆弧是否为半圆，可依据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。解题时需观察直角三角板与圆弧的位置关系：若直角三角板的直角顶点落在圆弧上，且直角的两条边与圆弧的交点恰好是圆弧的两个端点，说明该直角是圆弧所对的圆周角，对应的弧就是半圆。
【解析】
结合圆周角定理的推论逐一分析选项：
1. 选项A：圆弧的两个端点未落在直角三角板的两个锐角顶点处，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
2. 选项B：直角三角板的两个锐角顶点是圆弧的两个端点，且直角顶点落在圆弧上，此时90°角是该圆弧所对的圆周角，根据推论可知该圆弧为半圆，符合条件，正确。
3. 选项C：圆弧的两个端点在三角板斜边的同侧，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
4. 选项D：圆弧的端点未全部落在三角板的顶点上，90°角不是该圆弧对应的圆周角，不符合判定条件，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，半圆的判定
【点评】
本题是几何定理的实际应用类题目，解题的核心是掌握90°圆周角与直径、半圆的对应关系，需要学生具备结合图形分析位置关系的能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ D=(\ )$。
A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”这一性质，先构造出直角三角形求出∠ABC的度数，再利用“同弧所对的圆周角相等”，即可推出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°。
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠D=∠ABC=50°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”这一性质，先构造出直角三角形求出∠ABC的度数，再利用“同弧所对的圆周角相等”，即可推出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°。
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠D=∠ABC=50°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，计算难度低。
【难度系数】
0.8
1.如图，AB，CD是$\odot O$的两条直径，E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BC，DE。若$∠ ABC=22°$，则$∠ CDE$的度数为（
A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$44°$
C
）。A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$44°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周角∠ABC入手，利用圆周角定理求出它所对的圆心角度数，再结合AB是直径求出∠BOC的度数；接着根据E是$\overset{\frown}{BC}$中点，得到$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角度数；最后再次利用圆周角定理，即可求出$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角∠CDE的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，已知$∠ ABC=22°$，可得：
$∠ AOC=2∠ ABC=2×22°=44°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，因此：
$∠ BOC=180°-44°=136°$
3. 因为E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}$，等弧对应的圆心角相等，因此$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角：
$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×136°=68°$
4. 又因为∠CDE是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，再次根据圆周角定理可得：
$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×68°=34°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等弧对等圆心角，平角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，核心是掌握圆周角和对应圆心角的转化关系，解题关键是找准所求角、已知角分别对应的弧，通过弧作为中间量关联两个角的度数即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的圆周角∠ABC入手，利用圆周角定理求出它所对的圆心角度数，再结合AB是直径求出∠BOC的度数；接着根据E是$\overset{\frown}{BC}$中点，得到$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角度数；最后再次利用圆周角定理，即可求出$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角∠CDE的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，已知$∠ ABC=22°$，可得：
$∠ AOC=2∠ ABC=2×22°=44°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，因此：
$∠ BOC=180°-44°=136°$
3. 因为E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}$，等弧对应的圆心角相等，因此$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角：
$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×136°=68°$
4. 又因为∠CDE是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，再次根据圆周角定理可得：
$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×68°=34°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等弧对等圆心角，平角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，核心是掌握圆周角和对应圆心角的转化关系，解题关键是找准所求角、已知角分别对应的弧，通过弧作为中间量关联两个角的度数即可求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，CD是$\odot O$的直径。若$CD=10$，$AC=6$，则$\cos∠ ABC$的值为（
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
A
）。A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
2.A
解析
【分析】
要求$\cos∠ ABC$的值，观察发现$∠ ABC$不在直角三角形中，因此需要利用圆周角的性质进行角的转化：首先，同弧$AC$所对的圆周角$∠ ABC$和$∠ ADC$相等，因此可将求$\cos∠ ABC$转化为求$\cos∠ ADC$；又因为$CD$是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可知$△ ADC$是直角三角形，已知直角三角形的斜边$CD$和直角边$AC$的长度，先用勾股定理求出另一条直角边$AD$的长度，再根据余弦的定义计算$\cos∠ ADC$即可。
【解析】
连接$AD$，
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ DAC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆周角相等，因此$∠ ABC=∠ ADC$，
$\therefore \cos∠ ABC=\cos∠ ADC=\frac{AD}{CD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆中求三角函数值的典型题目，解题核心是通过圆周角定理将待求角转化到直角三角形中，再结合勾股定理和三角函数的定义计算，解题时注意不要混淆锐角三角函数的邻边和对边。
【难度系数】
0.7
要求$\cos∠ ABC$的值，观察发现$∠ ABC$不在直角三角形中，因此需要利用圆周角的性质进行角的转化：首先，同弧$AC$所对的圆周角$∠ ABC$和$∠ ADC$相等，因此可将求$\cos∠ ABC$转化为求$\cos∠ ADC$；又因为$CD$是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可知$△ ADC$是直角三角形，已知直角三角形的斜边$CD$和直角边$AC$的长度，先用勾股定理求出另一条直角边$AD$的长度，再根据余弦的定义计算$\cos∠ ADC$即可。
【解析】
连接$AD$，
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ DAC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆周角相等，因此$∠ ABC=∠ ADC$，
$\therefore \cos∠ ABC=\cos∠ ADC=\frac{AD}{CD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆中求三角函数值的典型题目，解题核心是通过圆周角定理将待求角转化到直角三角形中，再结合勾股定理和三角函数的定义计算，解题时注意不要混淆锐角三角函数的邻边和对边。
【难度系数】
0.7
