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3.如图，AB是$\odot O$的直径，CD交AB于点E，$∠ ACD = 60°$，$∠ CEB = 110°$，则$∠ ADC$的度数是（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
A
）。A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，利用三角形外角的性质，结合已知的∠CEB和∠ACD的度数，先求出∠CAB的度数；第二步，根据“直径所对的圆周角是直角”，得到∠ACB=90°，进而在直角三角形ACB中求出∠ABC的度数；第三步，根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠ADC与∠ABC相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 求∠CAB的度数：
∵∠CEB是△AEC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠CEB = ∠CAB + ∠ACD，
代入已知∠CEB=110°，∠ACD=60°，
得∠CAB = 110° - 60° = 50°。
2. 求∠ABC的度数：
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 50° = 40°。
3. 求∠ADC的度数：
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADC = ∠ABC = 40°。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握三角形外角性质、直径与圆周角的关系以及同弧圆周角相等的性质，通过角度转化即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步：第一步，利用三角形外角的性质，结合已知的∠CEB和∠ACD的度数，先求出∠CAB的度数；第二步，根据“直径所对的圆周角是直角”，得到∠ACB=90°，进而在直角三角形ACB中求出∠ABC的度数；第三步，根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠ADC与∠ABC相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 求∠CAB的度数：
∵∠CEB是△AEC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠CEB = ∠CAB + ∠ACD，
代入已知∠CEB=110°，∠ACD=60°，
得∠CAB = 110° - 60° = 50°。
2. 求∠ABC的度数：
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 50° = 40°。
3. 求∠ADC的度数：
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADC = ∠ABC = 40°。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角性质；圆周角定理；直径所对圆周角的特征
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握三角形外角性质、直径与圆周角的关系以及同弧圆周角相等的性质，通过角度转化即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，AC交BD于点G。若$∠ COD = 126°$，则$∠ AGB$的度数为（
A.$99°$
B.$110°$
C.$108°$
D.$117°$
C
）。A.$99°$
B.$110°$
C.$108°$
D.$117°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先从题干已知条件出发：首先BD是圆的直径，可利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等弧对等边的结论，判断△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABG的度数；其次根据平角的定义求出∠COB的度数，再利用圆周角定理求出∠BAG的度数；最后在△AGB中根据三角形内角和定理即可算出∠AGB的度数。
【解析】
1.
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
又
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，
∴$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，
∴$∠ ABG=45°$。
2.
∵$∠ COD=126°$，B、O、D三点共线，
∴$∠ COB=180°-∠ COD=180°-126°=54°$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$∠ COB$，所对的圆周角为$∠ CAB$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×54°=27°$。
4. 在$△ AGB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ AGB=180°-∠ ABG-∠ CAB=180°-45°-27°=108°$。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题属于圆与三角形角度计算的综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，挖掘直径所对圆周角为直角的隐含条件，逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从题干已知条件出发：首先BD是圆的直径，可利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等弧对等边的结论，判断△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABG的度数；其次根据平角的定义求出∠COB的度数，再利用圆周角定理求出∠BAG的度数；最后在△AGB中根据三角形内角和定理即可算出∠AGB的度数。
【解析】
1.
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
又
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$，
∴$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，
∴$∠ ABG=45°$。
2.
∵$∠ COD=126°$，B、O、D三点共线，
∴$∠ COB=180°-∠ COD=180°-126°=54°$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$∠ COB$，所对的圆周角为$∠ CAB$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×54°=27°$。
4. 在$△ AGB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ AGB=180°-∠ ABG-∠ CAB=180°-45°-27°=108°$。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题属于圆与三角形角度计算的综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，挖掘直径所对圆周角为直角的隐含条件，逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$\odot O$中，AD是直径，C是$\overset{\frown}{ADB}$的中点，若$∠ ABC = 65°$，则$∠ BAD$的度数是
40°
。答案
5.$40°$
解析
【分析】
要求∠BAD的度数，首先观察到AD是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知△ABD是直角三角形，因此只需求出∠ADB的度数即可计算∠BAD。首先利用弧中点的性质得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由等弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠ABC，再通过三角形内角和求出∠ACB的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，代入直角三角形计算即可。
【解析】
1. 因为C是$\overset{\frown}{ADB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ ABC=65°$。
2. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-65°-65°=50°$。
3. $∠ ACB$和$∠ ADB$均为$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ ADB=∠ ACB=50°$。
4. 因为AD是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ABD=90°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$∠ BAD=90°-∠ ADB=90°-50°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础综合题，解题的突破口是结合弧中点的性质得到等角，再逐步转化角度求解，熟练掌握圆周角的相关推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠BAD的度数，首先观察到AD是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知△ABD是直角三角形，因此只需求出∠ADB的度数即可计算∠BAD。首先利用弧中点的性质得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由等弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠ABC，再通过三角形内角和求出∠ACB的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，代入直角三角形计算即可。
【解析】
1. 因为C是$\overset{\frown}{ADB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ ABC=65°$。
2. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-65°-65°=50°$。
3. $∠ ACB$和$∠ ADB$均为$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ ADB=∠ ACB=50°$。
4. 因为AD是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ABD=90°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中：
$∠ BAD=90°-∠ ADB=90°-50°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础综合题，解题的突破口是结合弧中点的性质得到等角，再逐步转化角度求解，熟练掌握圆周角的相关推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.如图，△ABC内接于$\odot O$，A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$∠ BAC = 120°$。过点B作$\odot O$的直径BD，连接AD。若$AD = 6$，求AC的长。
答案
6.$AC=2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据等弧对等弦可得$AB=AC$，因此求$AC$的长可转化为求$AB$的长；②$BD$是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$Rt△ ABD$；③再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ D=∠ C$，结合等腰$△ ABC$的内角和算出$∠ C$的度数，即可得到$∠ D$的度数，最后在$Rt△ ABD$中利用三角函数求出$AB$的长，即可得$AC$的长度。
【解析】
1. 因为A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧对等弦，得$AB=AC$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，所以$∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，所以$∠ D=∠ C=30°$。
4. 因为$BD$是$\odot O$的直径，所以直径所对的圆周角$∠ BAD=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
5. 在$Rt△ ABD$中，$∠ D=30°$，$AD=6$，$\tan∠ D=\frac{AB}{AD}$，所以$AB=AD·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
6. 又因为$AB=AC$，所以$AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$AC=2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，解直角三角形
【点评】
本题是圆周角性质的典型综合题，解题的核心是通过等弧对等弦实现待求线段的转化，再结合直径的性质构造直角三角形，利用角度关系求解，解题时注意知识点的串联运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据等弧对等弦可得$AB=AC$，因此求$AC$的长可转化为求$AB$的长；②$BD$是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$Rt△ ABD$；③再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ D=∠ C$，结合等腰$△ ABC$的内角和算出$∠ C$的度数，即可得到$∠ D$的度数，最后在$Rt△ ABD$中利用三角函数求出$AB$的长，即可得$AC$的长度。
【解析】
1. 因为A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧对等弦，得$AB=AC$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，所以$∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，所以$∠ D=∠ C=30°$。
4. 因为$BD$是$\odot O$的直径，所以直径所对的圆周角$∠ BAD=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
5. 在$Rt△ ABD$中，$∠ D=30°$，$AD=6$，$\tan∠ D=\frac{AB}{AD}$，所以$AB=AD·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
6. 又因为$AB=AC$，所以$AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$AC=2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，解直角三角形
【点评】
本题是圆周角性质的典型综合题，解题的核心是通过等弧对等弦实现待求线段的转化，再结合直径的性质构造直角三角形，利用角度关系求解，解题时注意知识点的串联运用。
【难度系数】
0.7
7.如图，AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于点E，点P在$\odot O$上，$∠1=∠ DCB$。
(1)求证：$CB// PD$；
(2)若$BC=3$，$\sin P=\dfrac{3}{5}$，求$\odot O$的直径。
(1)求证：$CB// PD$；
(2)若$BC=3$，$\sin P=\dfrac{3}{5}$，求$\odot O$的直径。
答案
7.(1)略 (2)5
解析
【分析】
(1) 要证明$CB// PD$，可通过证明内错角相等推导：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ DCB=∠ P$，结合已知$∠ 1=∠ DCB$，可推出$∠ 1=∠ P$，内错角相等即可判定两直线平行。
(2) 求$\odot O$的直径，先利用垂径定理得弧$BC=$弧$BD$，再根据等弧所对的圆周角相等推出$∠ BAC=∠ P$；结合直径所对的圆周角是直角，得到$\mathrm{Rt}△ ACB$，利用三角函数$\sin∠ BAC=\sin P=\frac{BC}{AB}$，代入数值即可求出直径$AB$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$BD$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ DCB=∠ P$。
又$\because ∠ 1=∠ DCB$，
$\therefore ∠ 1=∠ P$，
$\therefore CB// PD$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，
$\therefore$ 弧$BC=$弧$BD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧），
$\therefore ∠ BAC=∠ P$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$\sin∠ BAC=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin P=\frac{3}{5}$，$∠ BAC=∠ P$，$BC=3$，
代入得$\frac{3}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=5$，即$\odot O$的直径为5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，通过圆周角的等量转换结合平行的判定、三角函数进行求解，是圆与几何、三角函数结合的典型考法，解题关键是熟练掌握圆的基本性质，找准角的等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$CB// PD$，可通过证明内错角相等推导：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ DCB=∠ P$，结合已知$∠ 1=∠ DCB$，可推出$∠ 1=∠ P$，内错角相等即可判定两直线平行。
(2) 求$\odot O$的直径，先利用垂径定理得弧$BC=$弧$BD$，再根据等弧所对的圆周角相等推出$∠ BAC=∠ P$；结合直径所对的圆周角是直角，得到$\mathrm{Rt}△ ACB$，利用三角函数$\sin∠ BAC=\sin P=\frac{BC}{AB}$，代入数值即可求出直径$AB$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$BD$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ DCB=∠ P$。
又$\because ∠ 1=∠ DCB$，
$\therefore ∠ 1=∠ P$，
$\therefore CB// PD$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，
$\therefore$ 弧$BC=$弧$BD$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧），
$\therefore ∠ BAC=∠ P$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$\sin∠ BAC=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin P=\frac{3}{5}$，$∠ BAC=∠ P$，$BC=3$，
代入得$\frac{3}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=5$，即$\odot O$的直径为5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，通过圆周角的等量转换结合平行的判定、三角函数进行求解，是圆与几何、三角函数结合的典型考法，解题关键是熟练掌握圆的基本性质，找准角的等量关系。
【难度系数】
0.7
8.如图,在足球比赛中,球门为线段PQ。球员甲带球奔至点A处,队友乙同步进攻至点B处。此时甲有两种进攻选择：
①在点A处直接朝球门PQ射门；
②将球传给点B处的乙,由乙朝球门PQ射门。
足球射门常识:球员对球门两端点P,Q的视线夹角越大,射门有效范围越广、进球成功率越高。仅从射门夹角的角度大小对比考虑,请判断应选择第
①在点A处直接朝球门PQ射门；
②将球传给点B处的乙,由乙朝球门PQ射门。
足球射门常识:球员对球门两端点P,Q的视线夹角越大,射门有效范围越广、进球成功率越高。仅从射门夹角的角度大小对比考虑,请判断应选择第
②
种进攻方式更优(填写序号)。答案
8.②
解析
【分析】
要判断哪种进攻方式更优，只需比较∠PAQ和∠PBQ的大小，夹角越大射门成功率越高。观察图形可知，点P、Q、B在同一圆上，∠PBQ是该圆中弧PQ所对的圆周角；点A在圆外，∠PAQ是弧PQ所对的圆外角。根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，即可判断两个角的大小，得出最优选择。
【解析】
设过P、Q、B三点的圆为⊙O：
1. ∠PBQ是⊙O中弧PQ所对的圆周角；
2. 点A在⊙O外部，因此∠PAQ是⊙O中弧PQ所对的圆外角；
3. 根据圆周角相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，可得∠PAQ ＜ ∠PBQ；
4. 因为射门夹角越大进球成功率越高，所以选择在B点射门的方式更优，即第②种。
【答案】
②
【知识点】
圆周角性质，圆外角性质
【点评】
本题结合足球射门的实际场景，考查了圆周角相关性质的应用，将生活问题转化为数学中角度大小比较的问题，体现了数学在实际生活中的实用性，解题的关键是准确区分两个角分别是同弧对应的圆周角还是圆外角。
【难度系数】
0.7
要判断哪种进攻方式更优，只需比较∠PAQ和∠PBQ的大小，夹角越大射门成功率越高。观察图形可知，点P、Q、B在同一圆上，∠PBQ是该圆中弧PQ所对的圆周角；点A在圆外，∠PAQ是弧PQ所对的圆外角。根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，即可判断两个角的大小，得出最优选择。
【解析】
设过P、Q、B三点的圆为⊙O：
1. ∠PBQ是⊙O中弧PQ所对的圆周角；
2. 点A在⊙O外部，因此∠PAQ是⊙O中弧PQ所对的圆外角；
3. 根据圆周角相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，可得∠PAQ ＜ ∠PBQ；
4. 因为射门夹角越大进球成功率越高，所以选择在B点射门的方式更优，即第②种。
【答案】
②
【知识点】
圆周角性质，圆外角性质
【点评】
本题结合足球射门的实际场景，考查了圆周角相关性质的应用，将生活问题转化为数学中角度大小比较的问题，体现了数学在实际生活中的实用性，解题的关键是准确区分两个角分别是同弧对应的圆周角还是圆外角。
【难度系数】
0.7
