一、选择题
1. 判定两个直角三角形全等的条件可以是()

A.一锐角对应相等
B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.两条直角边对应相等

1. D

【分析】
首先明确全等三角形的判定必须包含至少一组边相等的条件，再结合直角三角形自带直角相等的特性，逐一分析各选项是否符合全等判定定理即可：先排除仅含角相等的选项，再判断仅单组边相等的选项是否满足要求，最后验证两边相等的选项是否符合判定规则。
【解析】
结合全等三角形判定定理逐一分析选项：
A. 仅一锐角对应相等，加上直角相等只能得到两个三角形三个角对应相等，无对应边相等的条件，无法判定全等，故A错误；
B. 两锐角对应相等，依然只有角相等的条件，没有边对应相等，不能判定全等，故B错误；
C. 仅一条边对应相等，缺少其他边或角的匹配条件，比如一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边相等时，两个三角形明显不全等，无法判定全等，故C错误；
D. 两条直角边对应相等，且两条直角边的夹角为直角，是对应相等的，符合全等三角形SAS（两边及其夹角对应相等的三角形全等）判定定理，可判定两个直角三角形全等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形判定条件；SAS判定定理
【点评】
本题是全等判定的基础题，解题时需注意全等三角形判定必须有边参与，仅角相等只能证明三角形相似，不能证明全等，结合判定定理逐一验证选项即可得出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图1,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,若要根据“HL”直接证明$△ ADB≌△ ADC$,则需要补充的一个条件是()

A.$AD=AD$
B.$BD=CD$
C.$AB=AC$
D.$∠ B=∠ C$

2. C

【分析】
首先回忆“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该定理仅适用于直角三角形的全等判定。首先由已知AD⊥BC，可确定△ADB和△ADC均为直角三角形，且两个三角形有公共直角边AD，已经满足一条直角边相等的条件。要使用HL证明全等，还需要补充斜边对应相等的条件，对应到三角形中就是AB=AC，再结合选项逐一排除不符合要求的选项即可。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ADB和△ADC都是直角三角形。
已知两个三角形有公共直角边AD=AD，若要根据“HL”证明全等，需要补充斜边对应相等的条件，即AB=AC。
逐一分析选项：
A. AD=AD是公共边，属于已知隐含条件，无需补充，不符合要求；
B. 补充BD=CD时，结合AD=AD、∠ADB=∠ADC，可通过SAS证明全等，不是用HL判定，不符合要求；
C. 补充AB=AC时，在Rt△ADB和Rt△ADC中，$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ AD=AD\end{array} $，可根据HL证明全等，符合要求；
D. 补充∠B=∠C时，结合∠ADB=∠ADC、AD=AD，可通过AAS证明全等，不是用HL判定，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. HL判定定理
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题主要考查对直角三角形HL判定定理的掌握，解题时要注意HL仅适用于直角三角形，且需明确“斜边+一条直角边对应相等”的条件，注意区分不同全等判定定理的使用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.7

3. 如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E的度数为()

A.25°
B.27°
C.30°
D.45°

3. B

【分析】
解题时首先观察题目给出的边相等、垂直的条件，优先考虑通过证明三角形全等转化角的关系。第一步先利用AD=CD、BE⊥AC、公共边BD，证明△ABD和△CBD全等，得到∠ABD等于∠ABC的一半，算出∠ABD的度数；第二步再利用AD=CD、BD=ED、对顶角相等，证明△ABD和△CED全等，即可得到∠E和∠ABD相等，从而求出∠E的度数。
【解析】
∵BE⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°。
在△ABD和△CBD中：
$\{\begin{array}{l} AD=CD\\ ∠ ADB=∠ CDB\\ BD=BD\end{array} $
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=54°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}×54°=27°$。
在△ABD和△CED中：
$\{\begin{array}{l} AD=CD\\ ∠ ADB=∠ CDE（对顶角相等）\\ BD=ED\end{array} $
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E=∠ABD=27°。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的关键是从已知条件中挖掘出证明全等所需的边、角相等条件，通过全等实现角的等量转化，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

4*. 如图3,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于E,则有()



A.DE=DB
B.DE=AE
C.AE=BE
D.AE=BD

4. B

【分析】
要判断选项中线段的等量关系，可通过构造全等三角形证明。观察已知条件，有CD=CA，DE⊥BC可得∠CDE=∠A=90°，若连接公共边CE，可得到两个直角三角形Rt△CAE和Rt△CDE，利用直角三角形全等的HL判定定理证明二者全等，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
连接CE，
∵ DE⊥BC，∠A是Rt△ABC的直角，
∴ ∠A=∠CDE=90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}CE=CE\quad (\mathrm{公共边})\\CA=CD\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△CAE ≌ Rt△CDE（HL），
∴ AE=DE，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定及应用，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，属于全等三角形判定的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

1. 如图4，AB=AD，AD⊥DC，BC⊥AB，AC和BD相交于点E，则Rt△ABC≌Rt△，依据是；进而可推出△CDE≌△，依据是。

1. ADC, HL, CBE, SAS

【分析】
首先观察题目给出的垂直条件，可判断△ABC和△ADC均为直角三角形，已知直角边AB=AD，且二者有公共斜边AC，符合直角三角形全等的HL判定条件，可先证这组直角三角形全等；再利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等的结论，寻找△CDE全等的三角形，对应边角条件匹配SAS判定定理即可完成推导。
【解析】
1. 证明Rt△ABC≌Rt△ADC：
∵AD⊥DC，BC⊥AB，
∴∠ABC=∠ADC=90°，即△ABC和△ADC都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
2. 推导△CDE≌△CBE：
由Rt△ABC≌Rt△ADC可得：BC=DC，∠ACB=∠ACD。
在△CDE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}DC=BC(\mathrm{已证})\\∠ DCE=∠ BCE(\mathrm{已证})\\CE=CE(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△CDE≌△CBE（SAS）。
【答案】
ADC，HL，CBE，SAS
【知识点】
HL判定定理，SAS判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用，需要先利用直角三角形特有的HL判定定理证明第一组全等，再借助全等得到的边角关系证明第二组全等，要求熟练掌握各类全等判定定理和全等三角形的性质，能灵活结合已知条件寻找全等所需的边角关系。
【难度系数】
0.8

2. 如图5,∠C=∠C'=90°,欲判定△ABC≌△A'B'C',可添加条件AC=A'C'和（添上一个条件即可）。
图4 图5 图6

2. AB=A'B'(或BC=B'C'或∠A=∠A'或∠B=∠B')

【分析】
首先梳理已知条件：△ABC和△A'B'C'均为直角三角形（∠C=∠C'=90°），且已有一组对应边相等AC=A'C'。要判定两个三角形全等，可结合普通三角形全等判定定理（SAS、ASA、AAS）和直角三角形特有的HL判定定理，对照已有条件，补充缺少的对应相等的边或角即可：若用SAS判定，需补充另一条夹直角的边BC=B'C'；若用ASA判定，需补充角∠A=∠A'；若用AAS判定，需补充角∠B=∠B'；若用HL判定，需补充斜边AB=A'B'。
【解析】
已知∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，任选以下一种条件添加均可证明全等：
1. 若添加$AB=A'B'$：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AC=A'C' \\AB=A'B'\end{cases}$
根据HL定理，可得$Rt△ ABC≌ Rt△ A'B'C'$。
2. 若添加$BC=B'C'$：
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AC=A'C' \\∠ C=∠ C' \\BC=B'C'\end{cases}$
根据SAS定理，可得$△ ABC≌△ A'B'C'$。
3. 若添加$∠ A=∠ A'$：
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ A' \\AC=A'C' \\∠ C=∠ C'\end{cases}$
根据ASA定理，可得$△ ABC≌△ A'B'C'$。
4. 若添加$∠ B=∠ B'$：
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ B' \\∠ C=∠ C' \\AC=A'C'\end{cases}$
根据AAS定理，可得$△ ABC≌△ A'B'C'$。
【答案】
AB=A'B'(或BC=B'C'或∠A=∠A'或∠B=∠B')
【知识点】
三角形全等的判定、直角三角形全等的判定
【点评】
本题是条件开放类基础题，核心考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时先梳理已有的相等条件，再结合不同判定定理补全缺失的对应边或对应角即可。
【难度系数】
0.9

3. 如图6,∠A=∠D=90°,AC=DB,欲证OB=OC,可以先利用“HL”证明≌得到AB=DC;再利用“”证明△AOB≌,从而得到OB=OC.

3. Rt△ABC, Rt△DCB, AAS, △DOC

【分析】
要证明OB=OC，可通过证明△AOB≌△DOC推导得到，首先需要先获得AB=DC这一条件。已知∠A和∠D都是直角，AC=DB，且Rt△ABC和Rt△DCB有公共斜边BC，因此可先用HL证明这两个直角三角形全等，得到AB=DC；再结合已知的∠A=∠D，以及对顶角∠AOB=∠DOC，用AAS证明△AOB和△DOC全等，即可推出OB=OC。
【解析】
1. 第一步证明直角三角形全等：
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∵∠A=∠D=90°，AC=DB，BC=CB（公共边），
∴根据“HL”判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$，
由全等三角形对应边相等，得$AB=DC$。
2. 第二步证明三角形全等推导OB=OC：
在△AOB和△DOC中，
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），$AB=DC$（已证），
∴根据“AAS”判定定理，可得$△ AOB ≌ △ DOC$，
由全等三角形对应边相等，得$OB=OC$。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABC$，$\mathrm{Rt}△ DCB$，$\mathrm{AAS}$，$△ DOC$
【知识点】
HL判定全等、AAS判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础综合题，解题时要注意挖掘公共边、对顶角等隐含条件，利用第一步全等得到的结论作为第二步全等的已知条件，层层推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8

4. 如图7，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=15\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AX⊥ AC$于点$A$，$P,Q$两点分别在边$AC$和射线$AX$上移动，且$PQ=AB$，当$AP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时，$△ ABC$和$△ APQ$全等。

4. 8或15

【分析】
首先梳理已知条件：$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，$AX⊥ AC$可得$∠ PAQ=90°$，因此$△ APQ$也是直角三角形，且已知斜边$PQ=AB$。根据直角三角形全等的HL判定定理，只要两个直角三角形的一组直角边对应相等，即可判定两三角形全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论对应边：①$AP$与$BC$为对应边；②$AP$与$AC$为对应边，分别计算$AP$的长度即可。
【解析】
解：$\because ∠ C=90°$，$AX⊥ AC$，
$\therefore ∠ C=∠ PAQ=90°$，即$△ ABC$和$△ APQ$均为直角三角形，
又$\because PQ=AB$，分两种情况讨论：
1. 当$Rt△ ABC≌ Rt△ QPA$时，对应边$AP=BC$，
$\because BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AP=8\ \mathrm{cm}$；
2. 当$Rt△ ABC≌ Rt△ PQA$时，对应边$AP=AC$，
$\because AC=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AP=15\ \mathrm{cm}$。
综上，$AP$的长度为$8\ \mathrm{cm}$或$15\ \mathrm{cm}$时，$△ ABC$和$△ APQ$全等。
【答案】
8或15
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时需注意当全等三角形的对应顶点未明确说明时，要全面考虑所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7