三、解答题
1. 如图8，已知四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AD=BC，BE=DF。
求证：AD//BC。

1. 提示:先证DE=BF,再证Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),得∠ADE=∠CBF,可证AD//BC.

【分析】
要证明AD//BC，可通过证明内错角∠ADE=∠CBF推导。观察两角分别在Rt△ADE和Rt△CBF中，已知斜边AD=BC，只需再证明一组直角边相等即可；由已知BE=DF，根据线段和的性质可得BE+EF=DF+EF，即BF=DE，即可利用HL判定两直角三角形全等，得到对应角相等后即可证明平行。
【解析】
证明：
∵ BE = DF（已知）
∴ BE + EF = DF + EF，即 $\boldsymbol{BF = DE}$
∵ AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°，△ADE和△CBF均为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中：
$\begin{cases}AD = BC（已知）\\DE = BF（已证）\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$（HL）
∴ ∠ADE = ∠CBF（全等三角形对应角相等）
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）
【答案】
$AD// BC$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过线段和差得到全等的必要条件，再结合全等性质和平行线判定定理推导结论，能有效考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图9，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D和E.
(1)若AD=AE，求证：∠1=∠2；
(2)若∠1=∠2，求证：OD=OE.

2. 提示:(1)证Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),得∠1=∠2. (2)证△ADO≌△AEO(AAS),进而得OD=OE.

【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，可通过证明两角所在的△ADO与△AEO全等实现。由已知OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个三角形均为直角三角形，结合已知的AD=AE，以及两三角形共有的斜边AO，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证明OD=OE，同样可通过证明△ADO与△AEO全等实现。由垂直条件可得∠ADO=∠AEO=90°，结合已知∠1=∠2，以及公共边AO，可利用AAS定理证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴ ∠ADO = ∠AEO = 90°，△ADO和△AEO均为直角三角形。
在Rt△ADO和Rt△AEO中：
$\begin{cases} AD = AE（已知） \\ AO = AO（公共边） \end{cases}$
∴ Rt△ADO ≌ Rt△AEO（HL），
∴ ∠1 = ∠2（全等三角形的对应角相等）。
(2) 证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴ ∠ADO = ∠AEO = 90°。
在△ADO和△AEO中：
$\begin{cases} ∠ADO = ∠AEO \\ ∠1 = ∠2（已知） \\ AO = AO（公共边） \end{cases}$
∴ △ADO ≌ △AEO（AAS），
∴ OD = OE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
(1) ∠1=∠2得证；(2) OD=OE得证
【知识点】
全等三角形的判定
全等三角形的性质
HL判定定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是结合已知条件和隐含的公共边、直角等条件，选择合适的全等判定方法，能帮助学生巩固全等三角形的判定和性质相关知识。
【难度系数】
0.8

3. 如图10,AC,BD相交于点P,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AD=BC.
求证:AC=BD.
图10

3. 提示:连接AB,证Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),可得AC=BD.

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，AC在Rt△ABC中，BD在Rt△BAD中，两个三角形有公共斜边AB，且已知直角边AD=BC，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此我们先连接AB构造这两个直角三角形，证明全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AC=BD。
【解析】
证明：连接AB
∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D = ∠C = 90°，即△ABD和△BAC均为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△BAC中：
$\begin{cases}AD = BC（已知）\\AB = BA（公共边）\end{cases}$
∴Rt△ABD ≌ Rt△BAC（HL）
∴AC = BD（全等三角形对应边相等）
【答案】
AC=BD
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查利用公共边构造全等直角三角形的解题思路，熟练掌握直角三角形全等的判定定理和全等三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8