4*. 如图11,在△ABC中,AD是角平分线,且BD=CD,DE,DF分别垂直AB,AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.

4. 提示:先证△ADE≌△ADF(AAS),得DE=DF,再证Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).

【分析】
要证明EB=FC，观察可得EB、FC分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，已知BD=CD，只需证明两个直角三角形的直角边DE=DF，即可通过HL判定两直角三角形全等，从而得到对应边EB=FC。要得到DE=DF，可利用AD是角平分线、DE⊥AB、DF⊥AC的条件，通过AAS证明△ADE≌△ADF，即可推出DE=DF。
【解析】
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases}∠AED=∠AFD \\∠EAD=∠FAD \\AD=AD\end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，即△BDE和△CDF均为直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases}BD=CD \\DE=DF\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴EB=FC。
【答案】
EB=FC
【知识点】
全等三角形判定，HL定理，角平分线性质
【点评】
本题是三角形全等判定的典型基础题，需要结合已知条件分步推导，先证明第一次全等得到所需的等边，再证明目标边所在的直角三角形全等，考查了对全等判定定理的应用能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

如图12，AB=AC且AB⊥AC，CD=DE且CD⊥DE，点B、C、E共线，并且点B、C、E到直线AD的距离分别为4,2,1，则四边形ABED的面积为。

$\frac{35}{2}$

【分析】
要计算四边形ABED的面积，可将其拆分为△ABC、△ACD和△CDE三部分分别求解。首先过B、C、E三点分别作AD的垂线，利用“同角的余角相等”推导角的等量关系，结合已知的边相等条件，用AAS证明两组三角形全等，得到对应边的长度，再分别计算三个三角形的面积相加即可得到最终结果。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，由题意得BF=4，CG=2，EH=1。
1. 证明△ABF≌△CAG：
∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAF + ∠CAG = 90°，
∵ BF⊥AD，
∴ ∠AFB=90°，
∴ ∠BAF + ∠ABF = 90°，
∴ ∠ABF = ∠CAG。
在△ABF和△CAG中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠CGA=90° \\∠ABF=∠CAG \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABF≌△CAG（AAS），
∴ AF=CG=2，BF=AG=4。
等腰Rt△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2}(AF^2+BF^2)=\frac{1}{2}(2^2+4^2)=10$。
2. 证明△CDG≌△DEH：
∵ CD⊥DE，
∴ ∠CDE=90°，
∴ ∠CDG + ∠EDH = 90°，
∵ EH⊥AD，
∴ ∠DHE=90°，
∴ ∠EDH + ∠DEH = 90°，
∴ ∠CDG = ∠DEH。
在△CDG和△DEH中：
$\{\begin{array}{l}∠CGD=∠DHE=90° \\∠CDG=∠DEH \\CD=DE\end{array} $
∴ △CDG≌△DEH（AAS），
∴ DG=EH=1，CG=DH=2。
等腰Rt△CDE的面积：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD· DE=\frac{1}{2}CD^2=\frac{1}{2}(CG^2+DG^2)=\frac{1}{2}(2^2+1^2)=\frac{5}{2}$。
3. 计算△ACD的面积：
AD = AG + GD = 4 + 1 = 5，CG为AD边上的高，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AD· CG=\frac{1}{2}×5×2=5$。
4. 四边形ABED的面积：
$S_{ABED}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}+S_{△ CDE}=10 + 5 + \frac{5}{2}=\frac{35}{2}$。
【答案】
$\frac{35}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的面积，点到直线的距离
【点评】
本题解题的关键是通过作垂线构造全等三角形，利用同角的余角相等推导全等所需的角相等条件，将不规则四边形的面积拆分为多个规则三角形的面积求解，较好地考查了全等三角形的应用和面积计算能力。
【难度系数】
0.6

1. 如图1，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是()



A.PC=PD
B.OC=OD
C.OC=OP
D.∠CPO=∠DPO

1. C

【分析】
解题时先梳理已知条件：OP平分∠BOA，PC⊥OA、PD⊥OB。首先根据角平分线的性质可直接得到PC与PD的关系，判断A选项；再通过证明Rt△OPC和Rt△OPD全等，得到对应边、对应角的关系，判断B、D选项；最后结合直角三角形斜边大于直角边的性质判断C选项即可。
【解析】
解：
∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB
∴根据角平分线的性质可得：PC=PD，故A选项结论正确，不符合题意；
在Rt△OPC和Rt△OPD中
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PC=PD\end{array} $
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO，故B、D选项结论正确，不符合题意；
在Rt△OPC中，OC是直角边，OP是斜边，由直角三角形中斜边大于任意直角边可得OC＜OP，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是结合角平分线性质和全等三角形的判定推导边角关系，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图2，BP平分∠ABC，PD⊥AB于点D，点E为射线BC上一点.若PD=5，则PE的长度可能为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

2. D

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到点P到BC边的最短距离等于PD的长度；再结合垂线段最短的性质，可知点P到BC上任意一点E的线段PE的长度一定大于等于这个最短距离，最后对比选项选出符合要求的数值即可。
【解析】
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB于D，根据角平分线的性质，点P到BC边的距离等于PD的长度，即点P到BC的最短距离为5。
∵点E是射线BC上的点，根据“垂线段最短”，点P到BC上点E的连线中，垂线段最短，因此PE≥5。
观察各选项，只有6满足≥5的要求，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是基础题，综合考查角平分线性质和垂线段最短的应用，解题的关键是确定PE的取值范围，再结合选项筛选答案，易错点是容易忽略PE可以等于最短距离的情况。
【难度系数】
0.8

3. 如图3,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$,垂足为$E$.若$DE=4$,$BC=9$,则$BD$的长为()

A.4
B.5
C.6
D.7

3. B

【分析】
解题时先观察题干条件，出现角平分线、角两边的垂线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到CD与DE的长度相等，再结合BC的总长度，用BC减去CD的长度即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴CD = DE，
∵DE = 4，
∴CD = 4，
又
∵BC = 9，
∴BD = BC - CD = 9 - 4 = 5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，找准角平分线上的点到两边的垂线段，建立等量关系即可快速计算。
【难度系数】
0.8