1. 单项式$\frac{π r^2}{2}a$的系数是 （）

A.$\frac{1}{2}$
B.$π$
C.$2$
D.$\frac{π}{2}$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。解题时注意两点：1. 要把单项式中所有的字母部分去掉，剩下的数字部分就是系数；2. 圆周率π是常数，不是字母，属于数字因数的一部分。我们先对给出的单项式进行拆分，分离数字部分和字母部分，就能得到对应的系数。
【解析】
首先回忆单项式系数的定义：单项式中的数字因数即为该单项式的系数。
将单项式$\frac{π r^2}{2}a$变形为$\frac{π}{2}r^2a$，其中字母部分是$r^2$和$a$，剩下的数字因数为$\frac{π}{2}$，因此这个单项式的系数是$\frac{π}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；π的常数属性
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易误将π当作字母，错选A选项。只要牢记单项式系数是数字因数，明确π是固定不变的常数，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

2. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可能是 （）

A.$-2xy^2$
B.$3x^2$
C.$2xy^3$
D.$2x^3$

2.D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。解题时我们可以逐项排查，先筛选出系数为2的选项，再从中选出次数为3的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据单项式系数、次数的定义逐一分析选项：
选项A：$-2xy^2$的系数是$-2$，不符合系数为2的要求，排除；
选项B：$3x^2$的系数是$3$，不符合系数为2的要求，排除；
选项C：$2xy^3$的次数是$1+3=4$，不符合次数为3的要求，排除；
选项D：$2x^3$的系数是$2$，次数是$3$，完全符合题干要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对单项式系数和次数定义的掌握，解题时注意不要漏加字母的指数，也不要把常数的指数计入次数，牢记概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

3. 多项式 $2^6 - 6x^3y^2 + 7x^2y^3 - x^4 - x$ 的次数是 （）

A.15
B.6
C.5
D.4

3.C

【分析】
要确定多项式的次数，首先回忆多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数。解题步骤如下：①先拆分多项式的所有项；②分别计算每个项的次数（单项式的次数为所有字母的指数和，常数项的次数为0，注意不要把系数的指数计入次数）；③找到最高的项次数，即为多项式的次数。本题要特别注意第一项$2^6$是常数项，其指数6是系数的指数，不属于字母的指数，不能计入项的次数。
【解析】
根据多项式次数的定义，我们逐个计算各项的次数：
1. 项$2^6$：不含字母，是常数项，次数为0；
2. 项$-6x^3y^2$：字母x的指数是3，字母y的指数是2，次数为$3+2=5$；
3. 项$7x^2y^3$：字母x的指数是2，字母y的指数是3，次数为$2+3=5$；
4. 项$-x^4$：仅含字母x，指数为4，次数为4；
5. 项$-x$：仅含字母x，指数为1，次数为1。
对比所有项的次数，最高次数为5，因此该多项式的次数是5。
【答案】
C
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 单项式的次数
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，易错点是误将常数项$2^6$的系数指数6当成多项式的次数，解题时要注意区分系数的指数和字母的指数，仅字母的指数参与项的次数计算。
【难度系数】
0.7

4. 下列说法中，正确的是 （）

A.$x^2 - 3x$的项是$x^2,3x$
B.$\frac{a+b}{3}$是单项式
C.$\frac{1}{2},πa,a^2+1$都是整式
D.$3a^2bc -2$是二次多项式

4.C

【分析】
本题考查整式相关的基础概念，解题时需先回忆单项式、多项式、整式、多项式的项与次数的定义，再结合定义逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。判断时要注意易错点：多项式的项要带前面的符号、π是常数不是字母、多项式的次数由最高次项的次数决定。
【解析】
先明确核心定义：
1. 多项式的项：组成多项式的每个单项式，需包含前面的符号；
2. 单项式：数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也属于单项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式；
4. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是该多项式的次数。
对各选项逐一判断：
A选项：$x^2 - 3x$的项为$x^2$、$-3x$，选项中未带负号写为$3x$，表述错误；
B选项：$\frac{a+b}{3}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b$，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，表述错误；
C选项：$\frac{1}{2}$是单独的数，属于单项式；$π a$是常数$π$与字母$a$的乘积，属于单项式；$a^2+1$是多项式，单项式和多项式都属于整式，因此三个都是整式，表述正确；
D选项：$3a^2bc$的次数为$2+1+1=4$，因此$3a^2bc -2$是四次二项式，不是二次多项式，表述错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式的概念，多项式的相关概念，整式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握整式相关的各类定义，注意规避“忽略多项式项的符号、误将π当字母、错算多项式次数”这类常见易错点。
【难度系数】
0.8

5. 完成下表：

5. 系数：$\frac{5}{3}$，$-1$，$5$，$π$，$2π$，$\frac{2}{5}$
次数：4，1，3，3，1，3

【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：①单项式的系数：指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，属于系数的一部分；②单项式的次数：指单项式中所有字母的指数之和，常数的指数不计入次数，单独字母的指数1通常省略不写，计算时不要遗漏。接下来逐个分析每个单项式，分别提取数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数即可。
【解析】
我们逐个计算每个单项式的系数和次数：
1. 单项式$\frac{5}{3}x^4$：数字因数为$\frac{5}{3}$，仅含字母$x$，指数为4，因此系数为$\frac{5}{3}$，次数为4；
2. 单项式$-y$：可改写为$-1· y$，数字因数为$-1$，仅含字母$y$，指数为1，因此系数为$-1$，次数为1；
3. 单项式$5xy^2$：数字因数为$5$，含字母$x$（指数1）、$y$（指数2），指数和为$1+2=3$，因此系数为$5$，次数为3；
4. 单项式$π r^2h$：$π$是常数，数字因数为$π$，含字母$r$（指数2）、$h$（指数1），指数和为$2+1=3$，因此系数为$π$，次数为3；
5. 单项式$2π r$：$π$是常数，数字因数为$2π$，仅含字母$r$，指数为1，因此系数为$2π$，次数为1；
6. 单项式$\frac{2}{5}abc$：数字因数为$\frac{2}{5}$，含字母$a、b、c$（指数均为1），指数和为$1+1+1=3$，因此系数为$\frac{2}{5}$，次数为3。
【答案】
系数：$\frac{5}{3}$，$-1$，$5$，$π$，$2π$，$\frac{2}{5}$
次数：$4$，$1$，$3$，$3$，$1$，$3$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将$π$当作字母参与次数计算，或者忽略单独字母的系数为$\pm1$、指数为1的隐含规则，掌握相关概念即可准确作答。
【难度系数】
0.8

6.为了帮助灾区人民重建家园，某班全体师生积极捐款，捐款金额共3500元，其中5名教师人均捐款a元，则该班学生共捐款元（用含a的代数式表示），是次多项式。

6. $3500-5a$，一

【分析】
解题思路分为两步：第一步先明确数量关系，学生捐款总额等于全体师生捐款总额减去教师的捐款总额，先算出教师的总捐款，再作差即可得到表示学生捐款的代数式；第二步根据多项式次数的定义，找到多项式中最高次项的次数，就能确定多项式的次数。
【解析】
1. 计算教师捐款总额：已知有5名教师，人均捐款a元，那么教师的总捐款为 $5 × a = 5a$ 元。
2. 计算学生捐款总额：全体师生捐款总额为3500元，因此学生捐款总额为总捐款减去教师捐款，即 $3500 - 5a$ 元。
3. 判断多项式次数：多项式 $3500-5a$ 包含两项，分别是次数为0的常数项3500、次数为1的一次项$-5a$，最高次项的次数为1，因此该多项式是一次多项式。
【答案】
$3500-5a$，一
【知识点】
列代数式；多项式的次数
【点评】
本题考查基础的代数式列写和多项式的概念，解题的关键是理清题目中的数量关系，准确把握多项式次数的判断规则。
【难度系数】
0.8

7. 已知代数式：$\frac{2R}{π},\frac{a+2}{2},\frac{1}{x},\frac{1}{2}x^2 - 3x + 1,-\frac{5}{7}xy,\sqrt{2}x,3ab+\frac{1}{a},-3.$
其中属于单项式的有________；
属于多项式的有________；
属于整式的有$\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad.}$

7. 单项式:$\frac{2R}{π},-\frac{5}{7}xy,\sqrt{2}x,-3$
多项式:$\frac{a+2}{2},\frac{1}{2}x^2-3x+1$
整式:$\frac{2R}{π},\frac{a+2}{2},\frac{1}{2}x^2-3x+1,-\frac{5}{7}xy,\sqrt{2}x,-3$

【分析】
解题时首先要明确三类代数式的定义：①单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意分母不能含有字母（π是常数，不属于字母）；②多项式：几个单项式的和叫做多项式；③整式：单项式和多项式统称为整式。接下来逐个判断给出的代数式，先排除分母含字母的代数式，再将剩余代数式按单项式、多项式的定义分类即可。
【解析】
我们逐个分析每个代数式：
1. $\frac{2R}{π}$：π是常数，该式是常数与字母的乘积，属于单项式；
2. $\frac{a+2}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a + 1$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}$：分母含有字母x，既不属于单项式也不属于多项式，不是整式；
4. $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 1$：是三个单项式的和，属于多项式；
5. $-\frac{5}{7}xy$：是常数与字母的乘积，属于单项式；
6. $\sqrt{2}x$：$\sqrt{2}$是常数，该式是常数与字母的乘积，属于单项式；
7. $3ab+\frac{1}{a}$：第二项分母含有字母a，既不属于单项式也不属于多项式，不是整式；
8. $-3$：单独的一个数，属于单项式。
据此完成分类即可。
【答案】
单项式:$\frac{2R}{π},-\frac{5}{7}xy,\sqrt{2}x,-3$
多项式:$\frac{a+2}{2},\frac{1}{2}x^2-3x+1$
整式:$\frac{2R}{π},\frac{a+2}{2},\frac{1}{2}x^2-3x+1,-\frac{5}{7}xy,\sqrt{2}x,-3$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题重点考查整式相关概念的辨析，解题时要注意π属于常数而非字母，分母中含有未知数的代数式不属于整式，准确掌握基础概念是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7

8. 下列多项式各由哪几项组成？各是几次多项式？
(1)$\frac{2x}{3} - y$.
(2)$4a^2 - ab + b^2$.
(3)$x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$.

8. 解:(1)$\frac{2x}{3},-y$;一次多项式.
(2)$4a^2,-ab,b^2$;二次多项式.
(3)$x^2y^2,-\frac{1}{3}xy,-1$;四次多项式.

【分析】
要解决本题，首先需要明确两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式（要连同前面的符号）都属于多项式的项；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。解题时先逐个拆分每个多项式中的所有单项式得到各项，再分别计算每个项的次数，找到最高次数即可确定多项式的次数。
【解析】
(1) 对$\frac{2x}{3} - y$拆分：
组成的单项式为$\frac{2x}{3}$、$-y$，即多项式的项是$\frac{2x}{3},-y$；
$\frac{2x}{3}$的次数是1，$-y$的次数是1，最高次数为1，因此是一次多项式。
(2) 对$4a^2 - ab + b^2$拆分：
组成的单项式为$4a^2$、$-ab$、$b^2$，即多项式的项是$4a^2,-ab,b^2$；
$4a^2$的次数是2，$-ab$的次数是$1+1=2$，$b^2$的次数是2，最高次数为2，因此是二次多项式。
(3) 对$x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$拆分：
组成的单项式为$x^2y^2$、$-\frac{1}{3}xy$、$-1$，即多项式的项是$x^2y^2,-\frac{1}{3}xy,-1$；
$x^2y^2$的次数是$2+2=4$，$-\frac{1}{3}xy$的次数是$1+1=2$，$-1$是常数项次数为0，最高次数为4，因此是四次多项式。
【答案】
(1)$\frac{2x}{3},-y$;一次多项式.
(2)$4a^2,-ab,b^2$;二次多项式.
(3)$x^2y^2,-\frac{1}{3}xy,-1$;四次多项式.
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题是整式章节的基础常规题，重点考察对多项式相关概念的理解与运用，解题时需注意：找多项式的项时不要遗漏项前面的符号，计算多项式次数时要先计算每个单项式的次数，再取最高值，切勿将所有项的次数直接相加。
【难度系数】
0.85