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7.小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个$a$元，白色珠子每个$b$元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子需花费（
A.$(3a+4b)$元
B.$(4a+3b)$元
C.$4(a+b)$元
D.$3(a+b)$元
A
）A.$(3a+4b)$元
B.$(4a+3b)$元
C.$4(a+b)$元
D.$3(a+b)$元
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先观察图形，分别数出黑色珠子和白色珠子的个数，再根据“总价=单价×数量”的基本数量关系，分别计算购买两种珠子的总费用，最后将两类费用相加，即可得到总的花费。
【解析】
观察题图可得，黑色珠子共有3个，白色珠子共有4个：
1. 购买黑色珠子的费用：每个a元，3个共花费$3a$元；
2. 购买白色珠子的费用：每个b元，4个共花费$4b$元；
总花费为两种珠子的费用之和，即$(3a+4b)$元，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，用字母表示数
【点评】
本题属于基础题，结合图形计数和基础数量关系即可求解，解题的关键是准确数出两种珠子的数量，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，分别数出黑色珠子和白色珠子的个数，再根据“总价=单价×数量”的基本数量关系，分别计算购买两种珠子的总费用，最后将两类费用相加，即可得到总的花费。
【解析】
观察题图可得，黑色珠子共有3个，白色珠子共有4个：
1. 购买黑色珠子的费用：每个a元，3个共花费$3a$元；
2. 购买白色珠子的费用：每个b元，4个共花费$4b$元；
总花费为两种珠子的费用之和，即$(3a+4b)$元，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，用字母表示数
【点评】
本题属于基础题，结合图形计数和基础数量关系即可求解，解题的关键是准确数出两种珠子的数量，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
8. 甲、乙、丙三家超市都在促销一种定价为$ m $元的商品，甲超市连续两次降价$ 20\% $；乙超市一次性降价$ 40\% $；丙超市第一次降价$ 30\% $，第二次降价$ 10\% $.此时顾客要购买这种商品，最划算的是
乙
超市（填“甲”“乙”或“丙”）.答案
8.乙【解析】甲超市:$m(1-0.2)(1-0.2)=0.64m$(元).
乙超市:$m(1-0.4)=0.6m$(元).
丙超市:$m(1-0.3)(1-0.1)=0.63m$(元).
因为$0.6m＜0.63m＜0.64m$,所以最划算的是乙超市.
乙超市:$m(1-0.4)=0.6m$(元).
丙超市:$m(1-0.3)(1-0.1)=0.63m$(元).
因为$0.6m＜0.63m＜0.64m$,所以最划算的是乙超市.
解析
【分析】
要判断在哪家超市购买最划算，本质是比较三家超市中该商品促销后的售价，售价最低的超市最划算。解题思路为：首先明确“降价a%后，商品售价=原价×(1-a%)”，若为连续多次降价，后续每次降价的计算基数是上一次降价后的售价，因此先分别计算三家超市降价后的最终售价，再比较三个售价的大小，数值最小的对应的超市即为答案。
【解析】
分别计算三家超市促销后商品的售价：
甲超市：连续两次降价20%，最终售价为$m×(1-20\%)×(1-20\%)=0.64m$（元）；
乙超市：一次性降价40%，最终售价为$m×(1-40\%)=0.6m$（元）；
丙超市：第一次降价30%，第二次降价10%，最终售价为$m×(1-30\%)×(1-10\%)=0.63m$（元）。
比较三个售价的大小：$0.6m＜0.63m＜0.64m$，因此乙超市的售价最低。
【答案】
乙
【知识点】
列代数式，降价率应用，代数式大小比较
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查百分率的实际应用，解题关键是明确每次降价的计算基数，通过计算、比较最终售价即可得出结论，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要判断在哪家超市购买最划算，本质是比较三家超市中该商品促销后的售价，售价最低的超市最划算。解题思路为：首先明确“降价a%后，商品售价=原价×(1-a%)”，若为连续多次降价，后续每次降价的计算基数是上一次降价后的售价，因此先分别计算三家超市降价后的最终售价，再比较三个售价的大小，数值最小的对应的超市即为答案。
【解析】
分别计算三家超市促销后商品的售价：
甲超市：连续两次降价20%，最终售价为$m×(1-20\%)×(1-20\%)=0.64m$（元）；
乙超市：一次性降价40%，最终售价为$m×(1-40\%)=0.6m$（元）；
丙超市：第一次降价30%，第二次降价10%，最终售价为$m×(1-30\%)×(1-10\%)=0.63m$（元）。
比较三个售价的大小：$0.6m＜0.63m＜0.64m$，因此乙超市的售价最低。
【答案】
乙
【知识点】
列代数式，降价率应用，代数式大小比较
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查百分率的实际应用，解题关键是明确每次降价的计算基数，通过计算、比较最终售价即可得出结论，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
9.如图，一个窗户的上部是半圆形，下部由边长相同的4个小正方形组成.请计算这个窗户的面积和窗户外框的总长.
答案
9.解:这个窗户的面积为 $4a^2 + \frac{π}{2}a^2$,
这个窗户外框的总长为 $6a+π a$.
这个窗户外框的总长为 $6a+π a$.
解析
【分析】
解题时先将窗户这个组合图形拆分为下部的4个小正方形和上部的半圆形两部分分别计算。首先确定单个小正方形的边长为a，先推导半圆的半径：下部是2行2列的小正方形，因此半圆的直径等于2个小正方形的边长，即2a，可得半圆半径为a。计算面积时，将两部分面积相加即可；计算外框总长时，注意只算最外侧的边，内部的分隔线、半圆与正方形连接的水平直径都不计入，将半圆弧长和下部外侧边长相加即可。
【解析】
已知单个小正方形的边长为a：
1. 计算窗户面积：
下部4个小正方形的总面积：$4× a × a = 4a^2$
上部半圆的半径$r=a$，半圆面积为：$\frac{1}{2}π r^2 = \frac{1}{2}π a^2$
因此窗户总面积为：$4a^2 + \frac{π}{2}a^2$
2. 计算窗户外框总长：
上部半圆弧的长度为：$\frac{1}{2}×2π r = π a$
下部外框包含底部1条长为2a的边、左右2条各长为2a的边，总长为：$2a + 2a + 2a = 6a$
因此窗户外框总长为：$6a + π a$
【答案】
窗户的面积为$4a^2 + \frac{π}{2}a^2$，窗户外框的总长为$6a+π a$
【知识点】
列代数式；组合图形面积计算；组合图形周长计算
【点评】
本题是组合图形的数量关系计算类题目，解题核心是合理拆分图形，准确识别各部分的边长、半径等基础量，计算周长时注意区分内外侧线条，避免出现多算内部线条、漏算外侧边的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先将窗户这个组合图形拆分为下部的4个小正方形和上部的半圆形两部分分别计算。首先确定单个小正方形的边长为a，先推导半圆的半径：下部是2行2列的小正方形，因此半圆的直径等于2个小正方形的边长，即2a，可得半圆半径为a。计算面积时，将两部分面积相加即可；计算外框总长时，注意只算最外侧的边，内部的分隔线、半圆与正方形连接的水平直径都不计入，将半圆弧长和下部外侧边长相加即可。
【解析】
已知单个小正方形的边长为a：
1. 计算窗户面积：
下部4个小正方形的总面积：$4× a × a = 4a^2$
上部半圆的半径$r=a$，半圆面积为：$\frac{1}{2}π r^2 = \frac{1}{2}π a^2$
因此窗户总面积为：$4a^2 + \frac{π}{2}a^2$
2. 计算窗户外框总长：
上部半圆弧的长度为：$\frac{1}{2}×2π r = π a$
下部外框包含底部1条长为2a的边、左右2条各长为2a的边，总长为：$2a + 2a + 2a = 6a$
因此窗户外框总长为：$6a + π a$
【答案】
窗户的面积为$4a^2 + \frac{π}{2}a^2$，窗户外框的总长为$6a+π a$
【知识点】
列代数式；组合图形面积计算；组合图形周长计算
【点评】
本题是组合图形的数量关系计算类题目，解题核心是合理拆分图形，准确识别各部分的边长、半径等基础量，计算周长时注意区分内外侧线条，避免出现多算内部线条、漏算外侧边的错误。
【难度系数】
0.7
10.用代数式表示：
（1）一个两位数的个位数为a，十位数为7，请用代数式表示这个两位数.
（2）一个两位数的个位数为a，十位数为b，请用代数式表示这个两位数.
（3）a，b各是一个两位数，将b放在a的左边，得到的四位数该怎样表示？a放在b的左边呢？
（1）一个两位数的个位数为a，十位数为7，请用代数式表示这个两位数.
（2）一个两位数的个位数为a，十位数为b，请用代数式表示这个两位数.
（3）a，b各是一个两位数，将b放在a的左边，得到的四位数该怎样表示？a放在b的左边呢？
答案
10.解:(1)$70+a$.
(2)$10b+a$.
(3)将b放在a的左边,得到的四位数应表示为$100b+a$,将a放在b的左边,得到的四位数应表示为$100a+b$.
(2)$10b+a$.
(3)将b放在a的左边,得到的四位数应表示为$100b+a$,将a放在b的左边,得到的四位数应表示为$100a+b$.
解析
【分析】
解题首先要明确数位的计数单位：十位上的数字表示几个10，个位上的数字表示几个1，两位数的构成规律是“十位数字×10 + 个位数字”。对于四位数的构造，若将一个两位数放在另一个两位数左边，左边的两位数相当于占据了千位和百位，计数单位是100，因此需要将左边的数乘100后，再加上右边的两位数即可。
(1)第一问已知十位是7，个位是a，直接套用两位数构成公式即可；
(2)第二问十位是b，个位是a，同样套用两位数公式，注意字母乘数字时数字写在前，省略乘号；
(3)第三问分两种情况，分别判断谁在左边，将左边的两位数乘100再加右边的数即可。
【解析】
(1) 十位数字是7，代表7个10，即$7×10=70$，个位数字是a，代表a个1，因此这个两位数为：$7×10 + a = 70 + a$；
(2) 十位数字是b，代表b个10，即$10b$，个位数字是a，因此这个两位数为：$10×b + a = 10b + a$；
(3) ①将b放在a的左边时，b是两位数，放在左边相当于b扩大为原来的100倍，再加上a，因此四位数为：$100×b + a = 100b + a$；
②将a放在b的左边时，a是两位数，放在左边相当于a扩大为原来的100倍，再加上b，因此四位数为：$100×a + b = 100a + b$。
【答案】
(1)$70+a$；(2)$10b+a$；(3)将b放在a的左边为$100b+a$，将a放在b的左边为$100a+b$。
【知识点】
1. 列代数式 2. 数位的意义 3. 用字母表示数
【点评】
本题是列代数式的基础题型，核心是掌握不同数位对应的计数单位，明确数位变化时数字的倍数变化规律，熟练掌握该规律即可快速解决同类数位表示类问题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确数位的计数单位：十位上的数字表示几个10，个位上的数字表示几个1，两位数的构成规律是“十位数字×10 + 个位数字”。对于四位数的构造，若将一个两位数放在另一个两位数左边，左边的两位数相当于占据了千位和百位，计数单位是100，因此需要将左边的数乘100后，再加上右边的两位数即可。
(1)第一问已知十位是7，个位是a，直接套用两位数构成公式即可；
(2)第二问十位是b，个位是a，同样套用两位数公式，注意字母乘数字时数字写在前，省略乘号；
(3)第三问分两种情况，分别判断谁在左边，将左边的两位数乘100再加右边的数即可。
【解析】
(1) 十位数字是7，代表7个10，即$7×10=70$，个位数字是a，代表a个1，因此这个两位数为：$7×10 + a = 70 + a$；
(2) 十位数字是b，代表b个10，即$10b$，个位数字是a，因此这个两位数为：$10×b + a = 10b + a$；
(3) ①将b放在a的左边时，b是两位数，放在左边相当于b扩大为原来的100倍，再加上a，因此四位数为：$100×b + a = 100b + a$；
②将a放在b的左边时，a是两位数，放在左边相当于a扩大为原来的100倍，再加上b，因此四位数为：$100×a + b = 100a + b$。
【答案】
(1)$70+a$；(2)$10b+a$；(3)将b放在a的左边为$100b+a$，将a放在b的左边为$100a+b$。
【知识点】
1. 列代数式 2. 数位的意义 3. 用字母表示数
【点评】
本题是列代数式的基础题型，核心是掌握不同数位对应的计数单位，明确数位变化时数字的倍数变化规律，熟练掌握该规律即可快速解决同类数位表示类问题。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1)$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+···+(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+···+\frac{n-1}{n})$。
(2)$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+$
$+4}+···+\frac{1}{1+2+3+4+···+n}$。
(1)$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+···+(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+···+\frac{n-1}{n})$。
(2)$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+$
$+4}+···+\frac{1}{1+2+3+4+···+n}$。答案
11.解:(1)原式$=\frac{1}{2}+\frac{3}{3}+\frac{6}{4}+\frac{10}{5}+…+\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+…+\frac{n-1}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$.
(2)原式$=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+…+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=2(1-\frac{1}{n+1})$.
(2)原式$=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+…+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=2(1-\frac{1}{n+1})$.
解析
【分析】
(1) 首先观察算式结构：每一组都是同分母分数相加，分子为从1到分母减1的连续整数。解题时先利用连续整数求和公式计算每个括号内分子的和，化简每个括号的结果后，会发现所有项的分母均为2，再将分子相加即可求出总和。
(2) 首先观察每一项的分母：都是从1开始的连续整数的和，解题时先用连续整数求和公式化简每一项的分母，将每一项变形为两个分数差的2倍的形式，再用裂项相消法抵消中间项，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算每个括号的和：
根据连续整数求和公式$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，可得：
第一个括号：$\frac{1}{2}$
第二个括号：$\frac{1+2}{3}=\frac{\frac{2×3}{2}}{3}=\frac{2}{2}$
第三个括号：$\frac{1+2+3}{4}=\frac{\frac{3×4}{2}}{4}=\frac{3}{2}$
……
最后一个括号：$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
因此原式$=\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\dots+\frac{n-1}{2}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{2}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$。
(2) 先化简每一项：
根据连续整数求和公式，每一项的分母$1+2+\dots+m=\frac{m(m+1)}{2}$，因此每一项可变形为：
$\frac{1}{1+2+\dots+m}=\frac{2}{m(m+1)}=2(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1})$
因此原式$=2(1-\frac{1}{2})+2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
提取公因数2后，中间项相互抵消，可得：
原式$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]=2(1-\frac{1}{n+1})$。
【答案】
(1) $\frac{n(n-1)}{4}$；(2) $2(1-\frac{1}{n+1})$
【知识点】
连续整数求和、分数运算、裂项相消
【点评】
本题属于规律类代数式运算题，需要先观察每一项的结构特征，借助连续整数求和公式简化每一项，再结合对应的运算技巧降低计算难度，对规律观察能力和运算化简能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先观察算式结构：每一组都是同分母分数相加，分子为从1到分母减1的连续整数。解题时先利用连续整数求和公式计算每个括号内分子的和，化简每个括号的结果后，会发现所有项的分母均为2，再将分子相加即可求出总和。
(2) 首先观察每一项的分母：都是从1开始的连续整数的和，解题时先用连续整数求和公式化简每一项的分母，将每一项变形为两个分数差的2倍的形式，再用裂项相消法抵消中间项，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算每个括号的和：
根据连续整数求和公式$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，可得：
第一个括号：$\frac{1}{2}$
第二个括号：$\frac{1+2}{3}=\frac{\frac{2×3}{2}}{3}=\frac{2}{2}$
第三个括号：$\frac{1+2+3}{4}=\frac{\frac{3×4}{2}}{4}=\frac{3}{2}$
……
最后一个括号：$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
因此原式$=\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\dots+\frac{n-1}{2}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{2}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$。
(2) 先化简每一项：
根据连续整数求和公式，每一项的分母$1+2+\dots+m=\frac{m(m+1)}{2}$，因此每一项可变形为：
$\frac{1}{1+2+\dots+m}=\frac{2}{m(m+1)}=2(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1})$
因此原式$=2(1-\frac{1}{2})+2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
提取公因数2后，中间项相互抵消，可得：
原式$=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]=2(1-\frac{1}{n+1})$。
【答案】
(1) $\frac{n(n-1)}{4}$；(2) $2(1-\frac{1}{n+1})$
【知识点】
连续整数求和、分数运算、裂项相消
【点评】
本题属于规律类代数式运算题，需要先观察每一项的结构特征，借助连续整数求和公式简化每一项，再结合对应的运算技巧降低计算难度，对规律观察能力和运算化简能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
