拓展与思考
5. 如图，P是锐角三角形ABC内的一点，PM⊥AB，交直线AB于点M，PN⊥AC，交直线AC于点N，且PB=PC，PM=PN.
（1）请写出AB与AC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如果P是锐角三角形ABC外的一点，（1）中所得到的AB与AC的数量关系是否仍然成立？

5. (1) $AB=AC$，理由略. 提示：证明$\mathrm{Rt}△ BPM ≌ \mathrm{Rt}△ CPN$，得$∠ PBM = ∠ PCN$. 由$PB=PC$，可得$∠ PBC = ∠ PCB$. 进一步可证得$∠ ABC = ∠ ACB$，根据“等角对等边”，得出$AB=AC$.
(2) 不一定. 提示： P是锐角三角形ABC外的一点，$PM ⊥ AB$，交边$AB$于点$M$，$PN ⊥ AC$，交边$AC$的延长线于点$N$，且$PB=PC$，$PM=PN$，可推得$AB \ne AC$.

【分析】
（1）要推导AB与AC的数量关系，可通过证明∠ABC=∠ACB，结合“等角对等边”得到结论。首先观察已知条件：存在两个直角三角形Rt△BPM和Rt△CPN，已知斜边PB=PC、直角边PM=PN，可先通过HL定理证明两三角形全等，得到对应角∠PBM=∠PCN；再结合PB=PC的等腰三角形性质，得到∠PBC=∠PCB，通过角的和差推导得到∠ABC=∠ACB，即可推出AB=AC。
（2）当点P在三角形外时，需要考虑垂线段是交边本身还是边的延长线，此时角的和差关系会发生变化，不能直接照搬点在三角形内部的推导逻辑，需分类讨论，因此结论不一定成立，可通过举反例说明。
【解析】
（1）$AB=AC$，理由如下：
∵ $PM⊥AB$，$PN⊥AC$，
∴ $∠ M=∠ N=90°$，$△ BPM$和$△ CPN$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BPM$和$\mathrm{Rt}△ CPN$中：
$\begin{cases}PB=PC \\PM=PN\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BPM ≌ \mathrm{Rt}△ CPN$（HL），
∴ $∠ PBM = ∠ PCN$。
又
∵ $PB=PC$，
∴ $∠ PBC = ∠ PCB$，
∴ $∠ PBM + ∠ PBC = ∠ PCN + ∠ PCB$，即$∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB=AC$（等角对等边）。
（2）不一定成立，理由如下：
当点P在锐角三角形ABC外时，若$PM ⊥ AB$交边AB于M，$PN ⊥ AC$交边AC的延长线于N，此时仍满足$PB=PC$、$PM=PN$，可证得$\mathrm{Rt}△ BPM ≌ \mathrm{Rt}△ CPN$，即$∠ PBM=∠ PCN$；结合$∠ PBC=∠ PCB$，此时$∠ ABC = ∠ PBC + ∠ PBM$，$∠ ACB = ∠ PCB - ∠ PCN$，可得$∠ ABC = ∠ ACB + 2∠ PBM$，即$∠ ABC\ne∠ ACB$，因此$AB\ne AC$，故（1）的结论不一定成立。
【答案】
(1) $AB=AC$，理由略. 提示：证明$\mathrm{Rt}△ BPM ≌ \mathrm{Rt}△ CPN$，得$∠ PBM = ∠ PCN$. 由$PB=PC$，可得$∠ PBC = ∠ PCB$. 进一步可证得$∠ ABC = ∠ ACB$，根据“等角对等边”，得出$AB=AC$.
(2) 不一定. 提示： P是锐角三角形ABC外的一点，$PM ⊥ AB$，交边$AB$于点$M$，$PN ⊥ AC$，交边$AC$的延长线于点$N$，且$PB=PC$，$PM=PN$，可推得$AB \ne AC$.
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 等腰三角形的性质
3. 等角对等边
【点评】
本题综合考查全等三角形判定、等腰三角形的性质与判定，解题时要注意点的位置变化对图形中角的和差关系的影响，避免形成思维定式，要养成分类讨论的几何分析习惯。
【难度系数】
0.6