1. 如图，已知：$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别是E、F，BE、CF相交于点D，且$BD＝CD$.求证：AD平分$∠ BAC$.

1. 提示：证明$△ BFD≌△ CED$，得$DF=DE$，所以AD平分$∠ BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DF和DE相等即可。结合已知条件，BD=CD，BE⊥AC、CF⊥AB可得两个直角相等，再加对顶角相等，可通过AAS证明△BFD和△CED全等，利用全等三角形对应边相等即可得到DF=DE，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵ $BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，
∴ $∠BFD = ∠CED = 90°$，
在$△ BFD$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠BFD = ∠CED \\∠BDF = ∠CDE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BFD ≌ △ CED \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $DF = DE$，
又
∵ $DF⊥AB$，$DE⊥AC$，
∴ 点D在$∠BAC$的平分线上，即AD平分$∠BAC$。
【答案】
AD平分$∠BAC$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是通过全等三角形得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，考查了基础逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知：点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积。求证：OP平分∠AOD。

2. 提示：过点P分别作$PE⊥ OA$，$PF⊥ OD$，垂足分别是E、F. 由已知$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$和$AB=CD$，推出$PE=PF$，所以OP平分$∠ AOD$.

【分析】要证明OP平分∠AOD，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点P到OA、OD的距离相等。已知△PAB与△PCD的面积相等，且底边AB=CD，结合三角形面积公式可知，两个三角形对应底边上的高就是点P到OA、OD的距离，由此可推出两条高相等，进而得到结论。
【解析】
证明：过点P作$PE⊥OA$，垂足为E，作$PF⊥OD$，垂足为F。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} · AB · PE$，$S_{△ PCD}=\frac{1}{2} · CD · PF$
∵ $S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，$AB=CD$
∴ $\frac{1}{2} · AB · PE = \frac{1}{2} · CD · PF$，化简得$PE=PF$
又
∵ PE是点P到OA的距离，PF是点P到OD的距离，且$PE=PF$
∴ 点P在∠AOD的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即OP平分∠AOD。
【答案】OP平分$∠ AOD$
【知识点】角平分线的判定；三角形面积计算；辅助线构造
【点评】本题是角平分线判定的基础应用，解题关键是通过作垂线构造点到角两边的距离，结合面积相等的条件转化得到距离相等，进而证明角平分线，需要掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】0.7

3. 如图，已知：在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，AD 是$△ ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为 E，$EF // BC$，交 AC 于点 F. 求证：EC 平分$∠ FED$.

3. 提示：由角平分线的性质定理，得$DC=DE$，从而$∠ DCE=∠ DEC$；由$EF// BC$，得$∠ FEC=∠ DCE$，所以$∠ FEC=∠ DEC$，即EC平分$∠ FED$.

【分析】
要证明EC平分∠FED，本质是证明∠FEC=∠DEC。首先利用角平分线的性质得到相等线段，再通过等边对等角推出一组等角；接着结合平行线的性质得到另一组等角，最后通过等量代换即可得到两个待证角相等，完成证明。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠DCE=∠DEC（等边对等角）。
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠FEC=∠DEC（等量代换），
∴EC平分∠FED。
【答案】
EC平分∠FED，得证。
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考察基础几何性质的综合运用，解题的核心是找到待证等角之间的中转等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解，是几何证明的常规基础题型。
【难度系数】
0.85