3. 如图，已知：AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，AB=A'B'，AD=A'D'，BC=B'C'. 求证：AC=A'C'.

3. 提示：先证明$\mathrm{Rt}△ ADB ≌ \mathrm{Rt}△ A'D'B'$，得$∠ B = ∠ B'$；再证明$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，推出$AC=A'C'$.

【分析】
要证明$AC=A'C'，可先证明二者所在的$△ ABC$和$△ A'B'C'$全等。目前已知$AB=A'B'，BC=B'C'，缺少夹角$∠ B=∠ B'$的条件。结合已知AD、A'D'是高，且$AB=A'B'，AD=A'D'，可先通过HL定理证明$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ A'D'B'$全等，得到$∠ B=∠ B'，即可凑齐SAS判定大三角形全等的条件，最终推导得到对应边相等。
【解析】
证明：
$\because AD、A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高，
$\therefore ∠ ADB=∠ A'D'B'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ A'D'B'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\AD=A'D'\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADB≌\mathrm{Rt}△ A'D'B'(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}AB=A'B'\\∠ B=∠ B'\\BC=B'C'\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ A'B'C'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=A'C'$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=A'C'$，得证。
【知识点】
1. HL判定全等
2. SAS判定全等
3. 全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础典型题，核心考查两次全等推导线段相等的思路，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，学会从待证结论倒推所需条件的分析方法。
【难度系数】
0.7

4. 如图，已知：AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，BE=AC. 求证：BE⊥AC. （第4题）

4. 提示：延长$BE$交$AC$于点$F$，证明$\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC$，得$∠ DBE = ∠ DAC$. 由$∠ DAC + ∠ C = 90°$，可推得$∠ CBF + ∠ C = 90°$，从而$∠ BFC = 90°$.

【分析】要证明BE⊥AC，可先延长BE交AC于点F，只需证明∠BFC=90°即可。首先结合AD是△ABC的高，可得△BDE和△ADC都是直角三角形，已知AD=BD、BE=AC，可通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到对应角∠DBE=∠DAC；再利用直角三角形两锐角互余的性质，将∠DAC替换为∠DBE，即可推出∠DBE+∠C=90°，最后根据三角形内角和定理可得∠BFC=90°，从而证得结论。
【解析】
证明：延长BE交AC于点F。
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，△BDE和△ADC均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△ADC$中：
$\begin{cases} BD=AD \\ BE=AC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△BDE ≌ \mathrm{Rt}△ADC$（HL），
∴$∠DBE = ∠DAC$。
∵在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠DAC + ∠C = 90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠DBE + ∠C = 90°$，即$∠FBC + ∠C = 90°$。
在$△BFC$中，$∠BFC = 180° - (∠FBC + ∠C) = 180° - 90° = 90°$，
∴$BF⊥AC$，即$BE⊥AC$。
【答案】
已证得$\boxed{BE⊥AC}$，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造出要证垂直的夹角，再利用全等三角形转化角的关系，结合直角三角形的角度性质推导结论，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和角的等量代换方法。
【难度系数】
0.7