1. 如图，已知：$BE ⊥ AD$，$CF ⊥ AD$，垂足分别为E、F，$AB=DC$，$DE=AF$. 求证：$△ ABE ≌ △ DCF$.

1. 提示：证明$AE=DF$.

【分析】
要证明$△ ABE ≌ △ DCF$，首先由$BE ⊥ AD$、$CF ⊥ AD$可知两个三角形都是直角三角形，已知斜边$AB=DC$，只需再证明一组直角边对应相等即可。已知$DE=AF$，观察线段$AD$的分段，$AF$减去公共线段$EF$可得$AE$，$DE$减去公共线段$EF$可得$DF$，由此可推出$AE=DF$，最后利用直角三角形全等的判定定理即可证明全等。
【解析】
证明：
$\because BE ⊥ AD$，$CF ⊥ AD$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ DFC = 90°$，即$△ ABE$和$△ DCF$均为直角三角形。
$\because DE = AF$，
$\therefore DE - EF = AF - EF$，即$AE = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中：
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}) \\AE = DF \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF \ (\mathrm{HL})$
【答案】
$△ ABE ≌ △ DCF$得证
【知识点】
直角三角形全等判定、线段和差计算、垂直的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过等线段减去公共线段推导出所需的对应边相等，结合直角三角形的全等判定定理即可完成证明，能够帮助学生巩固全等判定的应用逻辑。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知：点A、B、C、D在同一直线上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是B、C，AB=DC，AE=DF. 求证：AF=DE.

2. 提示：先证明$\mathrm{Rt}△ EBA ≌ \mathrm{Rt}△ FCD$；再证明$△ ACF ≌ △ DBE$，得$AF=DE$.

【分析】
要证明$AF=DE$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察已知条件：$BE⊥ AD$、$CF⊥ AD$可得多个直角，已知$AE=DF$、$AB=DC$，可先利用HL证明$\mathrm{Rt}△ EBA ≌ \mathrm{Rt}△ FCD$，得到$BE=CF$；再结合$AB=DC$推出$AC=DB$，即可用SAS证明$△ ACF ≌ △ DBE$，进而得到对应边$AF=DE$。
【解析】
证明：
$\because BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=∠ ACF=∠ DBE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$\begin{cases}AE=DF \\AB=DC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF$（$\mathrm{HL}$），
$\therefore BE=CF$。
$\because AB=DC$，
$\therefore AB+BC=DC+BC$，即$AC=DB$。
在$△ ACF$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AC=DB \\∠ ACF=∠ DBE=90° \\CF=BE\end{cases}$
$\therefore △ ACF ≌ △ DBE$（$\mathrm{SAS}$），
$\therefore AF=DE$。
【答案】
$AF=DE$，得证。
【知识点】
HL判定全等、SAS判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题时可从待证结论出发逆向推导所需条件，再结合已知信息逐步验证，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7