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5. 如图，已知：在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AB=2BC$。求证：$∠ C=90°$。
答案
5. 提示：取AB中点D，连接CD. 先证$∠DCB=∠CDB=∠B=60°$，再证$△ACD$是等腰三角形，从而$∠ACD=∠A=30°$. 所以$∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°$.
解析
【分析】
遇到题目中出现线段倍分关系（AB=2BC）和60°特殊角时，可通过取较长线段AB的中点，将倍分关系转化为等线段，结合60°角构造等边三角形，再利用等边三角形、等腰三角形的性质推导角度关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
证明：取AB的中点D，连接CD。
∵ D是AB的中点，
∴ AB=2BD，
又
∵ AB=2BC，
∴ BD=BC，
∵ ∠B=60°，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ CD=BD，∠BCD=∠BDC=60°，
∵ AD=BD（中点定义），
∴ CD=AD，即△ACD是等腰三角形，
∴ ∠A=∠ACD，
∵ ∠BDC是△ACD的外角，
∴ ∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴ ∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+60°=90°，即∠C=90°。
【答案】
∠C=90°，得证。
【知识点】
等边三角形判定与性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度证明的典型题型，解题核心是根据线段倍分关系和特殊角构造辅助线，将分散的已知条件关联起来，再借助特殊三角形的性质推导结论，对辅助线构造思维的锻炼有较大帮助。
【难度系数】
0.6
遇到题目中出现线段倍分关系（AB=2BC）和60°特殊角时，可通过取较长线段AB的中点，将倍分关系转化为等线段，结合60°角构造等边三角形，再利用等边三角形、等腰三角形的性质推导角度关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
证明：取AB的中点D，连接CD。
∵ D是AB的中点，
∴ AB=2BD，
又
∵ AB=2BC，
∴ BD=BC，
∵ ∠B=60°，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ CD=BD，∠BCD=∠BDC=60°，
∵ AD=BD（中点定义），
∴ CD=AD，即△ACD是等腰三角形，
∴ ∠A=∠ACD，
∵ ∠BDC是△ACD的外角，
∴ ∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD，
∴ ∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+60°=90°，即∠C=90°。
【答案】
∠C=90°，得证。
【知识点】
等边三角形判定与性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度证明的典型题型，解题核心是根据线段倍分关系和特殊角构造辅助线，将分散的已知条件关联起来，再借助特殊三角形的性质推导结论，对辅助线构造思维的锻炼有较大帮助。
【难度系数】
0.6
拓展与思考
6. 如图，在$△ ABC$中，$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别为$E$、$F$，$D$是边$BC$的中点，连接$DF$、$EF$、$DE$.
（1）求证：$DE=DF$；
（2）当$△ DEF$是等边三角形时，求$∠ A$的度数.
6. 如图，在$△ ABC$中，$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别为$E$、$F$，$D$是边$BC$的中点，连接$DF$、$EF$、$DE$.
（1）求证：$DE=DF$；
（2）当$△ DEF$是等边三角形时，求$∠ A$的度数.
答案
6. (1) 提示：由$BE⊥AC$，$CF⊥AB$，D是边BC的中点，根据直角三角形的性质定理，推出$DE=\frac{1}{2}BC=DF$.
(2) $∠A=60°$. 提示：由$△DEF$是等边三角形，可知$∠FDE=60°$，即$∠FDB+∠EDC=120°$，利用直角三角形的性质定理，可推得$∠DBF=∠DFB$，$∠DEC=∠DCE$. 再由$∠DBF+∠DFB+∠DEC+∠DCE=360°−120°=240°$，得$∠ABC+∠ACB=120°$. 所以$∠A=60°$.
(2) $∠A=60°$. 提示：由$△DEF$是等边三角形，可知$∠FDE=60°$，即$∠FDB+∠EDC=120°$，利用直角三角形的性质定理，可推得$∠DBF=∠DFB$，$∠DEC=∠DCE$. 再由$∠DBF+∠DFB+∠DEC+∠DCE=360°−120°=240°$，得$∠ABC+∠ACB=120°$. 所以$∠A=60°$.
解析
【分析】
（1）要证明$DE=DF$，观察到$DE$是直角$△ BEC$的线段，$DF$是直角$△ BFC$的线段，且$D$是两个直角三角形公共斜边$BC$的中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可推出两条线段均等于$BC$的一半，从而完成证明。
（2）已知$△ DEF$是等边三角形，可得$∠ EDF=60°$，先推出平角剩余部分$∠ BDF+∠ CDE$的度数；再结合$DF=BD$、$DE=DC$可知$△ BDF$、$△ CDE$均为等腰三角形，利用等腰三角形内角和的关系推导出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，最后结合$△ ABC$的内角和即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because BE⊥ AC$，$\therefore △ BEC$是直角三角形，
$\because D$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC$，
同理，$\because CF⊥ AB$，$\therefore △ BFC$是直角三角形，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore DF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE=DF$。
（2）解：
$\because △ DEF$是等边三角形，
$\therefore ∠ EDF=60°$，
$\therefore ∠ BDF+∠ CDE=180°-∠ EDF=180°-60°=120°$，
由（1）可知$DF=BD=\frac{1}{2}BC$，$DE=DC=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore △ BDF$和$△ CDE$都是等腰三角形，
$\therefore ∠ DBF=∠ DFB$，$∠ DCE=∠ DEC$，
$\therefore ∠ BDF=180°-2∠ ABC$，$∠ CDE=180°-2∠ ACB$，
代入$∠ BDF+∠ CDE=120°$得：
$(180°-2∠ ABC)+(180°-2∠ ACB)=120°$，
整理得：$360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=120°$，
解得$∠ ABC+∠ ACB=120°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-120°=60°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{∠A=60°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察特殊三角形的性质应用，解题的突破口是抓住直角三角形斜边中点的性质，将线段相等关系转化为等腰三角形的角度关系，能够有效锻炼角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$DE=DF$，观察到$DE$是直角$△ BEC$的线段，$DF$是直角$△ BFC$的线段，且$D$是两个直角三角形公共斜边$BC$的中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可推出两条线段均等于$BC$的一半，从而完成证明。
（2）已知$△ DEF$是等边三角形，可得$∠ EDF=60°$，先推出平角剩余部分$∠ BDF+∠ CDE$的度数；再结合$DF=BD$、$DE=DC$可知$△ BDF$、$△ CDE$均为等腰三角形，利用等腰三角形内角和的关系推导出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，最后结合$△ ABC$的内角和即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because BE⊥ AC$，$\therefore △ BEC$是直角三角形，
$\because D$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC$，
同理，$\because CF⊥ AB$，$\therefore △ BFC$是直角三角形，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore DF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE=DF$。
（2）解：
$\because △ DEF$是等边三角形，
$\therefore ∠ EDF=60°$，
$\therefore ∠ BDF+∠ CDE=180°-∠ EDF=180°-60°=120°$，
由（1）可知$DF=BD=\frac{1}{2}BC$，$DE=DC=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore △ BDF$和$△ CDE$都是等腰三角形，
$\therefore ∠ DBF=∠ DFB$，$∠ DCE=∠ DEC$，
$\therefore ∠ BDF=180°-2∠ ABC$，$∠ CDE=180°-2∠ ACB$，
代入$∠ BDF+∠ CDE=120°$得：
$(180°-2∠ ABC)+(180°-2∠ ACB)=120°$，
整理得：$360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=120°$，
解得$∠ ABC+∠ ACB=120°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-120°=60°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{∠A=60°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察特殊三角形的性质应用，解题的突破口是抓住直角三角形斜边中点的性质，将线段相等关系转化为等腰三角形的角度关系，能够有效锻炼角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
