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1. 下列各式中，$y$是$x$的二次函数的是（）
A.$y=x+2$
B.$y=x^3+1$
C.$y=x^2-4x$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
A.$y=x+2$
B.$y=x^3+1$
C.$y=x^2-4x$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
答案
C
解析
【分析】
要判断y是否为x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①是关于$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需逐个验证选项是否符合上述条件即可。
【解析】
我们结合二次函数的判定条件逐个分析选项：
1. 选项A：$y=x+2$中$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
2. 选项B：$y=x^3+1$中$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合要求；
3. 选项C：$y=x^2-4x$是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$1≠0$，完全符合二次函数的定义；
4. 选项D：$y=\frac{1}{x^2}$的分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数要求。
综上只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题核心是牢记二次函数的三个判定要点，注意区分二次函数与一次函数、高次函数、分式函数的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
要判断y是否为x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①是关于$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需逐个验证选项是否符合上述条件即可。
【解析】
我们结合二次函数的判定条件逐个分析选项：
1. 选项A：$y=x+2$中$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
2. 选项B：$y=x^3+1$中$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合要求；
3. 选项C：$y=x^2-4x$是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$1≠0$，完全符合二次函数的定义；
4. 选项D：$y=\frac{1}{x^2}$的分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数要求。
综上只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题核心是牢记二次函数的三个判定要点，注意区分二次函数与一次函数、高次函数、分式函数的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2.下列函数关系中,可以用二次函数描述的是()
A.圆的周长与半径之间的关系
B.三角形的高一定时,面积与底边长之间的关系
C.在一定距离内,汽车行驶速度与行驶时间之间的关系
D.正方体的表面积与棱长之间的关系
A.圆的周长与半径之间的关系
B.三角形的高一定时,面积与底边长之间的关系
C.在一定距离内,汽车行驶速度与行驶时间之间的关系
D.正方体的表面积与棱长之间的关系
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项的函数是二次函数，首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数为二次函数，自变量的最高次数为2。解题时需先将每个选项的数量关系转化为函数表达式，再结合各类函数的定义逐一判断类型，最终选出符合二次函数定义的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设圆的半径为$r$，周长为$C$，根据圆的周长公式得$C=2π r$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数的定义，故A错误；
B. 设三角形的定高为$h$，底边长为$x$，面积为$S$，根据三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}hx$，$h$为定值，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数的定义，故B错误；
C. 设定距离为$s$，汽车行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，根据路程公式得$v=\frac{s}{t}$，$s$为定值，属于反比例函数，不符合二次函数的定义，故C错误；
D. 设正方体的棱长为$a$，表面积为$S$，正方体有6个面积相等的面，因此$S=6a^2$，符合二次函数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题考查常见函数类型的识别，解题的核心是能够根据数量关系正确写出函数表达式，再结合对应函数的定义判断即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项的函数是二次函数，首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数为二次函数，自变量的最高次数为2。解题时需先将每个选项的数量关系转化为函数表达式，再结合各类函数的定义逐一判断类型，最终选出符合二次函数定义的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设圆的半径为$r$，周长为$C$，根据圆的周长公式得$C=2π r$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数的定义，故A错误；
B. 设三角形的定高为$h$，底边长为$x$，面积为$S$，根据三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}hx$，$h$为定值，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数的定义，故B错误；
C. 设定距离为$s$，汽车行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，根据路程公式得$v=\frac{s}{t}$，$s$为定值，属于反比例函数，不符合二次函数的定义，故C错误；
D. 设正方体的棱长为$a$，表面积为$S$，正方体有6个面积相等的面，因此$S=6a^2$，符合二次函数的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题考查常见函数类型的识别，解题的核心是能够根据数量关系正确写出函数表达式，再结合对应函数的定义判断即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
3.若$y=(m-2)x^2 - x + 1$是关于x的二次函数，则m的取值范围是()
A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m≠2$
D.$m≠0$
A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m≠2$
D.$m≠0$
答案
C
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需依据二次函数的定义分析：二次函数的核心要求是二次项系数不为0。本题中函数的二次项系数为(m-2)，因此只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，即二次项系数不能为0。
在函数$y=(m-2)x^2 - x + 1$中，二次项系数为$m-2$，因此可得不等式：
$m-2≠0$
解得$m≠2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.9
要确定m的取值范围，需依据二次函数的定义分析：二次函数的核心要求是二次项系数不为0。本题中函数的二次项系数为(m-2)，因此只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数为二次函数，即二次项系数不能为0。
在函数$y=(m-2)x^2 - x + 1$中，二次项系数为$m-2$，因此可得不等式：
$m-2≠0$
解得$m≠2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.9
4.已知函数$y=x^2 - 2x$，当$x=a$时，记函数值$y$为$f(a)$，则$f(-10)$（填“＞”“＜”或“=”）$f(-1)$。
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
【分析】
要比较f(-10)和f(-1)的大小，有两种常用思路：思路一：直接将x=-10和x=-1代入函数表达式，分别计算出对应的函数值，再比较数值大小即可；思路二：利用二次函数的性质判断，先将函数化为顶点式确定开口方向、对称轴，根据开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，结合两个自变量的大小关系即可判断函数值的大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
当x=-10时，$f(-10)=(-10)^2 - 2×(-10)=100+20=120$
当x=-1时，$f(-1)=(-1)^2 - 2×(-1)=1+2=3$
∵120＞3
∴$f(-10)＞f(-1)$
方法二（利用二次函数性质法）：
将函数整理为顶点式：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$
当$x＜1$时，y随x的增大而减小
∵$-10 ＜ -1 ＜ 1$
∴$f(-10)＞f(-1)$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的性质，代数式求值
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的增减性快速得到结果，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
要比较f(-10)和f(-1)的大小，有两种常用思路：思路一：直接将x=-10和x=-1代入函数表达式，分别计算出对应的函数值，再比较数值大小即可；思路二：利用二次函数的性质判断，先将函数化为顶点式确定开口方向、对称轴，根据开口向上时，对称轴左侧y随x的增大而减小，结合两个自变量的大小关系即可判断函数值的大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
当x=-10时，$f(-10)=(-10)^2 - 2×(-10)=100+20=120$
当x=-1时，$f(-1)=(-1)^2 - 2×(-1)=1+2=3$
∵120＞3
∴$f(-10)＞f(-1)$
方法二（利用二次函数性质法）：
将函数整理为顶点式：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$
当$x＜1$时，y随x的增大而减小
∵$-10 ＜ -1 ＜ 1$
∴$f(-10)＞f(-1)$
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的性质，代数式求值
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的增减性快速得到结果，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
5.将一个物体以20 m/s的速度竖直上抛，物体在空中的高度$h$(单位:m)与时间$t$(单位:s)满足关系式$h=20t-5t^2$。当$h=20$ m时，物体的运动时间为s。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
题目明确给出了物体高度h与运动时间t的函数关系式，要求h=20m时对应的时间，解题思路很清晰：首先把h=20代入已知的函数解析式，将函数问题转化为一元二次方程求解问题，再解出方程的根，最后验证根是否符合实际运动情况即可。
【解析】
解：将h=20代入关系式$h=20t-5t^2$，可得：
$20=20t-5t^2$
方程两边同时除以5，移项整理得：
$t^2-4t+4=0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(t-2)^2=0$
解得：$t_1=t_2=2$，符合实际运动规律。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，核心是理解函数值和自变量的对应关系，将函数问题转化为一元二次方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
题目明确给出了物体高度h与运动时间t的函数关系式，要求h=20m时对应的时间，解题思路很清晰：首先把h=20代入已知的函数解析式，将函数问题转化为一元二次方程求解问题，再解出方程的根，最后验证根是否符合实际运动情况即可。
【解析】
解：将h=20代入关系式$h=20t-5t^2$，可得：
$20=20t-5t^2$
方程两边同时除以5，移项整理得：
$t^2-4t+4=0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(t-2)^2=0$
解得：$t_1=t_2=2$，符合实际运动规律。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，核心是理解函数值和自变量的对应关系，将函数问题转化为一元二次方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
6.如图,用绳子围成一个矩形,矩形相邻两边的长分别为x m,y m。
(1)若绳长为10 m,则y与x之间的关系式为,y是x的函数。
(2)若矩形的周长为20 m,面积为S m²,则S与x之间的关系式为,S是x的函数。
(1)若绳长为10 m,则y与x之间的关系式为,y是x的函数。
(2)若矩形的周长为20 m,面积为S m²,则S与x之间的关系式为,S是x的函数。
答案
(1) $\boldsymbol{y=5-x\ (0＜x＜5)}$；一次
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$；二次
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$；二次
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：绳长对应矩形的周长，首先利用矩形周长公式列等式，整理得到y与x的关系式，再结合矩形边长为正确定x的取值范围，最后对照一次函数的定义判断函数类型。
2. 第(2)问解题思路：先根据矩形周长公式得到y用x表示的式子，再代入矩形面积公式，整理得到S与x的关系式，结合边长为正确定x的取值范围，最后对照二次函数的定义判断函数类型。
【解析】
(1) 由题意可知矩形周长为10m，根据矩形周长公式$C=2(x+y)$，代入$C=10$得：
$2(x+y)=10$，
等式两边同除以2得$x+y=5$，移项得$y=5-x$，
矩形边长为正数，因此$x＞0$且$y=5-x＞0$，解得$0＜x＜5$。
该表达式符合一次函数$y=kx+b\ (k≠0)$的形式，因此y是x的一次函数。
(2) 已知矩形周长为20m，代入周长公式得$2(x+y)=20$，整理得$y=10-x$，
根据矩形面积公式$S=xy$，将$y=10-x$代入得：
$S=x(10-x)=-x^2+10x$，
矩形边长为正数，因此$x＞0$且$y=10-x＞0$，解得$0＜x＜10$。
该表达式符合二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$的形式，因此S是x的二次函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=5-x\ (0＜x＜5)}$；一次
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$；二次
【知识点】
矩形的周长与面积、一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的推导与函数类型的判断，核心是牢记基础几何公式和两类函数的定义，解题时注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问解题思路：绳长对应矩形的周长，首先利用矩形周长公式列等式，整理得到y与x的关系式，再结合矩形边长为正确定x的取值范围，最后对照一次函数的定义判断函数类型。
2. 第(2)问解题思路：先根据矩形周长公式得到y用x表示的式子，再代入矩形面积公式，整理得到S与x的关系式，结合边长为正确定x的取值范围，最后对照二次函数的定义判断函数类型。
【解析】
(1) 由题意可知矩形周长为10m，根据矩形周长公式$C=2(x+y)$，代入$C=10$得：
$2(x+y)=10$，
等式两边同除以2得$x+y=5$，移项得$y=5-x$，
矩形边长为正数，因此$x＞0$且$y=5-x＞0$，解得$0＜x＜5$。
该表达式符合一次函数$y=kx+b\ (k≠0)$的形式，因此y是x的一次函数。
(2) 已知矩形周长为20m，代入周长公式得$2(x+y)=20$，整理得$y=10-x$，
根据矩形面积公式$S=xy$，将$y=10-x$代入得：
$S=x(10-x)=-x^2+10x$，
矩形边长为正数，因此$x＞0$且$y=10-x＞0$，解得$0＜x＜10$。
该表达式符合二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$的形式，因此S是x的二次函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=5-x\ (0＜x＜5)}$；一次
(2) $\boldsymbol{S=-x^2+10x\ (0＜x＜10)}$；二次
【知识点】
矩形的周长与面积、一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的推导与函数类型的判断，核心是牢记基础几何公式和两类函数的定义，解题时注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
7. 提升题 已知关于$x$的函数$y=(m^2 + m)x^{m^2 -2m +2} +2x -1$。
(1)若该函数为二次函数，求$m$的值。
(2)若该函数为一次函数，求$m$的值。
(1)若该函数为二次函数，求$m$的值。
(2)若该函数为一次函数，求$m$的值。
答案
解：
(1) 若该函数为二次函数，需满足自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程 $m^2 - 2m + 2 = 2$，得 $m^2 - 2m = 0$，即 $m(m-2)=0$，解得 $m=0$ 或 $m=2$。
解不等式 $m^2 + m ≠ 0$，得 $m(m+1)≠0$，即 $m≠0$ 且 $m≠-1$。
综上，$m=2$。
(2) 若该函数为一次函数，分两种情况讨论：
① 当最高次项系数为0，剩余表达式为一次函数时：
令 $m^2 + m = 0$，解得 $m=0$ 或 $m=-1$。
此时函数为 $y=2x-1$，符合一次函数定义。
② 当最高次项的指数为1，合并同类项后函数仍为一次函数时：
令 $m^2 - 2m + 2 = 1$，整理得 $(m-1)^2=0$，解得 $m=1$。
此时 $m^2 + m = 2 ≠ 0$，函数为 $y=4x-1$，符合一次函数定义。
综上，$m$ 的值为 $-1$ 或 $0$ 或 $1$。
(1) 若该函数为二次函数，需满足自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程 $m^2 - 2m + 2 = 2$，得 $m^2 - 2m = 0$，即 $m(m-2)=0$，解得 $m=0$ 或 $m=2$。
解不等式 $m^2 + m ≠ 0$，得 $m(m+1)≠0$，即 $m≠0$ 且 $m≠-1$。
综上，$m=2$。
(2) 若该函数为一次函数，分两种情况讨论：
① 当最高次项系数为0，剩余表达式为一次函数时：
令 $m^2 + m = 0$，解得 $m=0$ 或 $m=-1$。
此时函数为 $y=2x-1$，符合一次函数定义。
② 当最高次项的指数为1，合并同类项后函数仍为一次函数时：
令 $m^2 - 2m + 2 = 1$，整理得 $(m-1)^2=0$，解得 $m=1$。
此时 $m^2 + m = 2 ≠ 0$，函数为 $y=4x-1$，符合一次函数定义。
综上，$m$ 的值为 $-1$ 或 $0$ 或 $1$。
解析
【分析】
(1) 求解函数为二次函数时的m值，需紧扣二次函数的定义：函数最高次为2，且二次项系数不为0，据此列出方程和不等式，联立求解后排除不符合条件的m值即可。
(2) 求解函数为一次函数时的m值，需结合一次函数的定义：函数最高次为1，且一次项系数不为0，分两种情况讨论：①原高次项系数为0，剩余项构成一次函数；②原高次项的次数为1，合并同类项后仍满足一次函数要求，分别计算两种情况的m值后汇总即可。
【解析】
(1) 若该函数为二次函数，需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程组：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程 $m^2 - 2m + 2 = 2$，移项得$m^2 - 2m = 0$，因式分解得$m(m-2)=0$，解得$m=0$或$m=2$。
解不等式$m^2 + m ≠ 0$，因式分解得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
综上，$m=2$。
(2) 若该函数为一次函数，分两种情况讨论：
① 当最高次项系数为0，剩余表达式为一次函数时：
令$m^2 + m = 0$，因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
此时函数化简为$y=2x-1$，符合一次函数定义。
② 当最高次项的指数为1，合并同类项后函数仍为一次函数时：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，整理得$m^2-2m+1=0$，即$(m-1)^2=0$，解得$m=1$。
此时$m^2 + m = 2 ≠ 0$，函数化简为$y=2x+2x-1=4x-1$，符合一次函数定义。
综上，$m$的值为$-1$或$0$或$1$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) $m=-1$或$0$或$1$
【知识点】
二次函数的定义，一次函数的定义，分类讨论
【点评】
本题主要考查一次函数、二次函数定义的应用，解题时要注意定义中“最高次项系数不为0”的隐含条件，求解一次函数时需全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数为二次函数时的m值，需紧扣二次函数的定义：函数最高次为2，且二次项系数不为0，据此列出方程和不等式，联立求解后排除不符合条件的m值即可。
(2) 求解函数为一次函数时的m值，需结合一次函数的定义：函数最高次为1，且一次项系数不为0，分两种情况讨论：①原高次项系数为0，剩余项构成一次函数；②原高次项的次数为1，合并同类项后仍满足一次函数要求，分别计算两种情况的m值后汇总即可。
【解析】
(1) 若该函数为二次函数，需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程组：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程 $m^2 - 2m + 2 = 2$，移项得$m^2 - 2m = 0$，因式分解得$m(m-2)=0$，解得$m=0$或$m=2$。
解不等式$m^2 + m ≠ 0$，因式分解得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
综上，$m=2$。
(2) 若该函数为一次函数，分两种情况讨论：
① 当最高次项系数为0，剩余表达式为一次函数时：
令$m^2 + m = 0$，因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
此时函数化简为$y=2x-1$，符合一次函数定义。
② 当最高次项的指数为1，合并同类项后函数仍为一次函数时：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，整理得$m^2-2m+1=0$，即$(m-1)^2=0$，解得$m=1$。
此时$m^2 + m = 2 ≠ 0$，函数化简为$y=2x+2x-1=4x-1$，符合一次函数定义。
综上，$m$的值为$-1$或$0$或$1$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) $m=-1$或$0$或$1$
【知识点】
二次函数的定义，一次函数的定义，分类讨论
【点评】
本题主要考查一次函数、二次函数定义的应用，解题时要注意定义中“最高次项系数不为0”的隐含条件，求解一次函数时需全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
