1.二次函数$y=x^2$的图象经过的象限是（）

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

A

【分析】
要判断二次函数图象经过的象限，可从二次函数的基本性质入手：首先看二次项系数的正负确定开口方向，再结合顶点坐标、不同x取值下的函数值符号，对应象限内点的坐标特征，就能推导图象经过的象限。对于本题的$y=x^2$，先判断开口方向，再分别分析x取正、负值时y的符号，对应到对应象限即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 抛物线的顶点坐标为$(0,0)$（即原点），对称轴为$y$轴，原点不属于任何象限；
3. 当$x＞0$时，$y=x^2＞0$，对应图象上的点横、纵坐标均为正，位于第一象限；
当$x＜0$时，$y=x^2＞0$，对应图象上的点横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
因此该二次函数的图象经过第一、二象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；象限的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查对最简二次函数基本性质的掌握，牢记开口方向、函数值的符号规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2.关于函数$y=x^2$，下列说法不正确的是（）

A.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x≠0$时，函数值总是正的
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.函数图象有最高点

D

【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题时首先回忆该函数的图象特征：$y=x^2$是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点为原点，再结合这些性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
二次函数$y=x^2$的核心性质：二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$，是图象的最低点。
逐一分析选项：
A. 当$x＜0$时，属于对称轴左侧区域，开口向上的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，说法正确；
B. 当$x≠0$时，$x^2＞0$，因此函数值总是正的，说法正确；
C. 当$x＞0$时，属于对称轴右侧区域，开口向上的抛物线在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，说法正确；
D. 该函数图象开口向上，只有最低点，没有最高点，说法错误。
本题要求选择说法不正确的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
y=x²的图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数的基础性质，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系，即可快速作答。
【难度系数】
0.85

3.关于抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$，下列说法不正确的是()

A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向不相同
D.都有最小值

D

【分析】
要判断关于两个抛物线说法不正确的选项，需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，分别梳理$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴、开口方向、最值情况，再逐一对应选项验证，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们分别分析两条抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：二次项系数$a=1＞0$，因此开口向上；顶点坐标为$(0,0)$；对称轴为直线$x=0$（即y轴）；开口向上有最低点，因此有最小值0。
2. 抛物线$y=-x^2$：二次项系数$a=-1＜0$，因此开口向下；顶点坐标为$(0,0)$；对称轴为直线$x=0$（即y轴）；开口向下有最高点，因此有最大值0，无最小值。
逐一判断选项：
A. 两条抛物线顶点都是$(0,0)$，顶点相同，说法正确，不符合题意；
B. 两条抛物线对称轴都是直线$x=0$，对称轴相同，说法正确，不符合题意；
C. $y=x^2$开口向上，$y=-x^2$开口向下，开口方向不相同，说法正确，不符合题意；
D. $y=x^2$有最小值，$y=-x^2$没有最小值，因此“都有最小值”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查$y=ax^2$型二次函数的性质，解题关键是明确二次项系数$a$的正负对开口方向、最值的影响，牢记该类函数的顶点和对称轴规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8

4.若函数$y=x^2$的图象经过点$(a,b)$，则它必经过的另一个点是。

解：
∵ 函数$y=x^2$的图象经过点$(a,b)$，
∴ 将点坐标代入解析式得 $b=a^2$。
将$x=-a$代入$y=x^2$，得 $y=(-a)^2=a^2=b$，
即点$(-a,b)$的坐标满足函数解析式。
∴ 它必经过的另一个点是$\boldsymbol{(-a,b)}$。

【分析】
解题可按以下思路推导：首先明确两个核心依据，一是若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式；二是二次函数$y=x^2$的图象关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等。第一步先将已知点$(a,b)$代入函数解析式，得到$b$和$a$的数量关系；第二步根据对称性取横坐标为$-a$，代入解析式验证对应的纵坐标，即可确定函数必经过的另一个点。
【解析】
∵ 函数$y=x^2$的图象经过点$(a,b)$，
∴ 将点坐标代入解析式得 $b=a^2$。
将$x=-a$代入$y=x^2$，得 $y=(-a)^2=a^2=b$，
即点$(-a,b)$的坐标满足函数解析式。
∴ 它必经过的另一个点是$(-a,b)$。
【答案】
$(-a,b)$
【知识点】
二次函数的对称性；函数图象上点的坐标特征；轴对称点坐标规律
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接应用，解题关键是结合函数图象的对称性，利用“函数图象上的点满足解析式”这一特征推导所求点坐标，掌握二次函数基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

5.已知函数$y=x^2$，当$x＜-2$时，$y$的取值范围是。

$\boldsymbol{y＞4}$

【分析】
要确定x＜-2时y的取值范围，首先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧即$x＜0$时，y随x的增大而减小。我们先计算边界$x=-2$对应的y值，再结合区间内的单调性就能推导y的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2$：
1. 函数开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$x=-2$时，代入函数得$y=(-2)^2=4$；
3. 因为$x＜-2$时，x的取值比-2更小，结合$x＜0$时y随x增大而减小的性质，可得y的取值大于4。
【答案】
$\boldsymbol{y＞4}$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题关键是先明确给定区间内函数的增减规律，再结合边界值推导函数值的取值范围，注意不要混淆增减性导致取值范围写反。
【难度系数】
0.8

6.如图,已知点A(2,m),B(n,1)在抛物线$y=x^2$上。
(1)求m,n的值。
(2)在y轴上找一点P,使得点P到A,B两点的距离之和最短,并求出此时点P的坐标。

解：
(1) 将点A(2,m)代入抛物线$y=x^2$，得
$m=2^2=4$。
将点B(n,1)代入抛物线$y=x^2$，得
$1=n^2$，解得$n=\pm1$。
由图可知点B在第一象限，n＞0，因此n=1。
(2) 作点B关于y轴的对称点B'，则B'的坐标为(-1,1)。
连接AB'，与y轴的交点即为所求的点P，此时点P到A、B的距离之和最短。
设直线AB'的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A(2,4)、B'(-1,1)代入得：
$\begin{cases}2k+b=4\\-k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$因此直线AB'的解析式为y=x+2。令x=0，得y=2，即点P的坐标为(0,2)。

【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此将A、B两点坐标分别代入抛物线$y=x^2$，即可列出关于m、n的方程求解，再结合图象中B点在第一象限的位置特征，舍去不符合要求的n值即可。
(2) 本题是轴对称最短路径问题：当两点在直线同侧时，找其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，和直线的交点即为满足距离和最短的点。本题中P在y轴上，因此先作B关于y轴的对称点$B'$，此时$PB=PB'$，则$PA+PB=PA+PB'$，根据两点之间线段最短，当A、P、$B'$三点共线时距离和最短，再求出直线$AB'$的解析式，计算它和y轴的交点即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(2,m)$代入抛物线$y=x^2$，得：
$m=2^2=4$
将点$B(n,1)$代入抛物线$y=x^2$，得：
$1=n^2$，解得$n=1$或$n=-1$
由图象可知点B在第一象限，横坐标$n＞0$，因此$n=1$。
(2) 作点B关于y轴的对称点$B'$，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，可得$B'$的坐标为$(-1,1)$。
连接$AB'$，与y轴的交点即为所求的点P，此时$PA+PB=PA+PB'=AB'$，距离之和最短。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(2,4)$、$B'(-1,1)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=4\\-k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=1$，得$b=2$，因此直线$AB'$的解析式为$y=x+2$。
y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，得$y=0+2=2$，即点P的坐标为$(0,2)$。
【答案】
(1) $m=4$，$n=1$；
(2) 点P的坐标为$(0,2)$。
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.轴对称最短路径问题
3.待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，第一问考查二次函数的基本性质，代入点坐标即可求解；第二问结合了最短路径模型和一次函数的相关知识，需要掌握对称法解决最短路径问题的思路，以及待定系数法求函数解析式的方法，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7

7. 提升题 已知点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上。
(1)求点$A$的坐标。
(2)在$x$轴上是否存在点$P$，使得$△ OAP$是等腰三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

解：
(1) 将点$A(1,a)$代入抛物线解析式$y=x^2$，
得$a=1^2=1$，
∴点$A$的坐标为$(1,1)$。
(2) 存在。
由$A(1,1)$，$O(0,0)$，得$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
设点$P$的坐标为$(x,0)$，分三种情况讨论：
① 当$OA=OP$时，$OP=\sqrt{2}$，即$|x|=\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
此时点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$；
② 当$OA=AP$时，$AP=\sqrt{2}$，即$\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
两边平方整理得$(x-1)^2=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
当$x=0$时，点$P$与原点$O$重合，无法构成三角形，舍去，
此时点$P$的坐标为$(2,0)$；
③ 当$OP=AP$时，即$|x|=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}$，
两边平方整理得$x^2=x^2-2x+2$，
解得$x=1$，
此时点$P$的坐标为$(1,0)$。
综上，符合条件的点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$、$(2,0)$、$(1,0)$。

【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点A的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，得到A点坐标。
(2) 等腰三角形的腰和底未明确，需分三种情况讨论：①OA为腰，O为顶点，即OA=OP；②OA为腰，A为顶点，即OA=AP；③OA为底，即OP=AP。设P点坐标为(x,0)，利用勾股定理表示各边长度后列方程求解，最后排除无法构成三角形的情况即可。
【解析】
(1) 将点$A(1,a)$代入抛物线解析式$y=x^2$，
得$a=1^2=1$，
∴点$A$的坐标为$(1,1)$。
(2) 存在。
由$A(1,1)$，$O(0,0)$，根据勾股定理得$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
设点$P$的坐标为$(x,0)$，分三种情况讨论：
① 当$OA=OP$时，$OP=\sqrt{2}$，即$|x|=\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
此时点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$；
② 当$OA=AP$时，$AP=\sqrt{2}$，即$\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
两边平方整理得$(x-1)^2=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
当$x=0$时，点$P$与原点$O$重合，三点共线无法构成三角形，舍去，
此时点$P$的坐标为$(2,0)$；
③ 当$OP=AP$时，即$|x|=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}$，
两边平方整理得$x^2=x^2-2x+2$，
解得$x=1$，
此时点$P$的坐标为$(1,0)$。
综上，符合条件的点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$、$(2,0)$、$(1,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,1)}$；
(2) 存在，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{2},0)}$、$\boldsymbol{(-\sqrt{2},0)}$、$\boldsymbol{(2,0)}$、$\boldsymbol{(1,0)}$。
【知识点】
二次函数点坐标特征、等腰三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题，第一问考查二次函数的基本性质，第二问的易错点是忽略等腰三角形腰和底的多种情况导致漏解，同时要注意验证所求点是否能构成三角形，避免出现增解。
【难度系数】
0.6