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8. 提升题＞如图①，$CD ⊥ AB$于点D，$△ ABC$被平行于CD的光线照射，AB在投影面上。
(1)图中线段AC的投影是，线段BC的投影是。
(2)如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，我们可以利用$△ ABC$与$△ ACD$相似证明$AC^2=AD · AB$，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作$CF ⊥ BE$，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$。
②若$DE=2CE$，求OF的长。
(1)图中线段AC的投影是，线段BC的投影是。
(2)如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，我们可以利用$△ ABC$与$△ ACD$相似证明$AC^2=AD · AB$，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作$CF ⊥ BE$，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$。
②若$DE=2CE$，求OF的长。
答案
解：
(1) 线段AC的投影是$\boldsymbol{AD}$，线段BC的投影是$\boldsymbol{BD}$。
(2) 证明：
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3) ① 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore OC⊥ OB$，$∠ BCD=90°$，$BC=CD$，
$\because CF⊥ BE$，
由射影定理得：$BC^2=BF· BE$，
又$\because △ BCO$是直角三角形，$CO⊥ BO$，
由射影定理得：$BC^2=BO· BD$，
$\therefore BF· BE=BO· BD$，即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
又$\because ∠ OBF=∠ EBD$，
$\therefore △ BOF ∽ △ BED$。
② 解：
$\because$ 正方形边长为15，$DE=2CE$，$CD=15$，
$\therefore CE=5$，$DE=10$，
在$Rt△ BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=15\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
由$△ BOF ∽ △ BED$，得$\frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
代入数值计算：
$OF=\frac{BO· DE}{BE}=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}×10}{5\sqrt{10}}=3\sqrt{5}$。
综上，$OF$的长为$3\sqrt{5}$。
(1) 线段AC的投影是$\boldsymbol{AD}$，线段BC的投影是$\boldsymbol{BD}$。
(2) 证明：
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3) ① 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore OC⊥ OB$，$∠ BCD=90°$，$BC=CD$，
$\because CF⊥ BE$，
由射影定理得：$BC^2=BF· BE$，
又$\because △ BCO$是直角三角形，$CO⊥ BO$，
由射影定理得：$BC^2=BO· BD$，
$\therefore BF· BE=BO· BD$，即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
又$\because ∠ OBF=∠ EBD$，
$\therefore △ BOF ∽ △ BED$。
② 解：
$\because$ 正方形边长为15，$DE=2CE$，$CD=15$，
$\therefore CE=5$，$DE=10$，
在$Rt△ BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=15\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
由$△ BOF ∽ △ BED$，得$\frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
代入数值计算：
$OF=\frac{BO· DE}{BE}=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}×10}{5\sqrt{10}}=3\sqrt{5}$。
综上，$OF$的长为$3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 平行于CD的光线垂直于投影面AB，点C在AB上的投影为点D，点A、B本身在投影面上，因此线段AC的投影是端点A到C的投影D的线段AD，线段BC的投影是端点B到C的投影D的线段BD。
(2) 要证明射影定理，先找△ACD和△ABC的相似条件：两三角形有公共角∠A，且∠ADC=∠ACB=90°，根据两角分别相等可证两三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到待证结论。
(3) ①证明三角形相似，先利用正方形性质得到∠BCD=90°、对角线互相垂直，在Rt△BCE和Rt△BCD中分别应用射影定理，得到关于$BC^2$的两个等量关系，代换后得到△BOF和△BED的两组对应边成比例，再结合公共角即可证相似。②先根据已知条件求出CE、DE的长度，用勾股定理计算BE的长，再结合正方形对角线的性质求出BO的长度，最后利用相似三角形对应边成比例，代入数值计算可得OF的长度。
【解析】
(1) 根据平行投影的性质，垂直于投影面的线段的投影为其垂足到投影面上端点的线段，因此AC的投影是AD，BC的投影是BD。
(2) 证明：
$\because ∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，
$\therefore ∠ADC=∠ACB=90°$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(3) ①证明：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore OC⊥OB$，$∠BCD=90°$，$BC=CD$，
$\because CF⊥BE$，
由射影定理得：$BC^2=BF·BE$，
又$\because △BCO$是直角三角形，$CO⊥BO$，
由射影定理得：$BC^2=BO·BD$，
$\therefore BF·BE=BO·BD$，即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
又$\because ∠OBF=∠EBD$，
$\therefore △BOF∽△BED$。
②解：
$\because$ 正方形边长为15，$DE=2CE$，$CD=15$，
$\therefore CE=5$，$DE=10$，
在$Rt△BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=15\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
由$△BOF∽△BED$，得$\frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
代入数值计算：
$OF=\frac{BO· DE}{BE}=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}×10}{5\sqrt{10}}=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{BD}$
(2) 证明如上，$AC^2=AD·AB$成立
(3) ①证明如上，△BOF∽△BED成立；②$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
【知识点】
平行投影；相似三角形的判定与性质；射影定理
【点评】
本题梯度设置合理，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问需要将射影定理灵活迁移到正方形的几何场景中，结合相似三角形的性质求解，能有效锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 平行于CD的光线垂直于投影面AB，点C在AB上的投影为点D，点A、B本身在投影面上，因此线段AC的投影是端点A到C的投影D的线段AD，线段BC的投影是端点B到C的投影D的线段BD。
(2) 要证明射影定理，先找△ACD和△ABC的相似条件：两三角形有公共角∠A，且∠ADC=∠ACB=90°，根据两角分别相等可证两三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到待证结论。
(3) ①证明三角形相似，先利用正方形性质得到∠BCD=90°、对角线互相垂直，在Rt△BCE和Rt△BCD中分别应用射影定理，得到关于$BC^2$的两个等量关系，代换后得到△BOF和△BED的两组对应边成比例，再结合公共角即可证相似。②先根据已知条件求出CE、DE的长度，用勾股定理计算BE的长，再结合正方形对角线的性质求出BO的长度，最后利用相似三角形对应边成比例，代入数值计算可得OF的长度。
【解析】
(1) 根据平行投影的性质，垂直于投影面的线段的投影为其垂足到投影面上端点的线段，因此AC的投影是AD，BC的投影是BD。
(2) 证明：
$\because ∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，
$\therefore ∠ADC=∠ACB=90°$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ACD∽△ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(3) ①证明：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore OC⊥OB$，$∠BCD=90°$，$BC=CD$，
$\because CF⊥BE$，
由射影定理得：$BC^2=BF·BE$，
又$\because △BCO$是直角三角形，$CO⊥BO$，
由射影定理得：$BC^2=BO·BD$，
$\therefore BF·BE=BO·BD$，即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
又$\because ∠OBF=∠EBD$，
$\therefore △BOF∽△BED$。
②解：
$\because$ 正方形边长为15，$DE=2CE$，$CD=15$，
$\therefore CE=5$，$DE=10$，
在$Rt△BCE$中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=15\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
由$△BOF∽△BED$，得$\frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
代入数值计算：
$OF=\frac{BO· DE}{BE}=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}×10}{5\sqrt{10}}=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{BD}$
(2) 证明如上，$AC^2=AD·AB$成立
(3) ①证明如上，△BOF∽△BED成立；②$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
【知识点】
平行投影；相似三角形的判定与性质；射影定理
【点评】
本题梯度设置合理，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问需要将射影定理灵活迁移到正方形的几何场景中，结合相似三角形的性质求解，能有效锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
