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一、选择题
1.下列选项中,两个变量m和n成反比例关系的是()
A.长为m、宽为n、周长为1的矩形
B.底面半径为m、高为n、体积为1的圆柱
C.对角线长分别为m和n、面积为1的菱形
D.长为m、宽和高均为n、体积为1的长方体
1.下列选项中,两个变量m和n成反比例关系的是()
A.长为m、宽为n、周长为1的矩形
B.底面半径为m、高为n、体积为1的圆柱
C.对角线长分别为m和n、面积为1的菱形
D.长为m、宽和高均为n、体积为1的长方体
答案
C
解析
【分析】
要判断两个变量m和n是否成反比例关系，首先明确反比例的判定核心：若两个变量的乘积为不为0的固定常数，则二者成反比例关系。解题时需逐个结合选项对应的几何公式，推导m与n的关系式，再对照判定标准验证即可。
【解析】
首先明确反比例关系定义：若两个相关联的变量$m、n$满足$mn=k$（$k$为常数，$k≠0$），则$m$和$n$成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 矩形周长公式为$2(m+n)=1$，整理得$m+n=\frac{1}{2}$，m和n的和为定值，乘积不是定值，不符合反比例关系；
B. 圆柱体积公式为$V=π m^2 n=1$，整理得$m^2 n=\frac{1}{π}$，是$m^2$和n的乘积为定值，不是m和n的乘积为定值，不符合反比例关系；
C. 菱形面积等于对角线乘积的一半，即$\frac{1}{2}mn=1$，整理得$mn=2$，m和n的乘积为非零定值，符合反比例关系；
D. 长方体体积公式为$V=m· n· n=1$，整理得$mn^2=1$，是m和$n^2$的乘积为定值，不是m和n的乘积为定值，不符合反比例关系。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；菱形面积计算；几何体体积计算
【点评】
本题重点考查反比例关系的判断，解题的关键是熟练掌握常见几何图形、几何体的相关公式，准确推导出两个变量的数量关系，再结合反比例的定义进行验证。
【难度系数】
0.7
要判断两个变量m和n是否成反比例关系，首先明确反比例的判定核心：若两个变量的乘积为不为0的固定常数，则二者成反比例关系。解题时需逐个结合选项对应的几何公式，推导m与n的关系式，再对照判定标准验证即可。
【解析】
首先明确反比例关系定义：若两个相关联的变量$m、n$满足$mn=k$（$k$为常数，$k≠0$），则$m$和$n$成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 矩形周长公式为$2(m+n)=1$，整理得$m+n=\frac{1}{2}$，m和n的和为定值，乘积不是定值，不符合反比例关系；
B. 圆柱体积公式为$V=π m^2 n=1$，整理得$m^2 n=\frac{1}{π}$，是$m^2$和n的乘积为定值，不是m和n的乘积为定值，不符合反比例关系；
C. 菱形面积等于对角线乘积的一半，即$\frac{1}{2}mn=1$，整理得$mn=2$，m和n的乘积为非零定值，符合反比例关系；
D. 长方体体积公式为$V=m· n· n=1$，整理得$mn^2=1$，是m和$n^2$的乘积为定值，不是m和n的乘积为定值，不符合反比例关系。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；菱形面积计算；几何体体积计算
【点评】
本题重点考查反比例关系的判断，解题的关键是熟练掌握常见几何图形、几何体的相关公式，准确推导出两个变量的数量关系，再结合反比例的定义进行验证。
【难度系数】
0.7
2. 在反比例函数 $y=\frac{a}{x}(a≠0)$ 中，当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，且关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^2 -5x +a=0$ 有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数 $a$ 的值的和为（）
A.7
B.6
C.5
D.3
A.7
B.6
C.5
D.3
答案
B
解析
【分析】
本题需结合反比例函数的增减性、一元二次方程根的判别式两个条件确定参数a的取值范围，再找出范围内的整数a计算和。解题思路如下：第一步，根据反比例函数x＜0时y随x增大而减小的性质，确定a的符号；第二步，利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，即判别式Δ＞0，计算a的取值上限；第三步，结合两个条件得到a的取值范围，筛选出范围内的整数，最后求和即可。
【解析】
1. 根据反比例函数性质求a的范围：
反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$中，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明函数图象位于第一、三象限，因此$a＞0$。
2. 根据一元二次方程根的判别式求a的范围：
关于$x$的一元二次方程$2x^2 -5x +a=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
其中二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为a，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×2× a ＞ 0$
$25 - 8a ＞ 0$
解得$a ＜ \frac{25}{8} = 3.125$。
3. 确定a的取值范围并求整数和：
结合两个条件可得$0 ＜ a ＜ 3.125$，且a为整数，因此满足条件的整数a为1、2、3。
整数和为$1+2+3=6$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；一元二次方程根的判别式；不等式组的整数解
【点评】
本题属于小综合题，解题的关键是不要遗漏题干给出的限制条件，准确求出参数的取值范围后再筛选符合要求的整数，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.7
本题需结合反比例函数的增减性、一元二次方程根的判别式两个条件确定参数a的取值范围，再找出范围内的整数a计算和。解题思路如下：第一步，根据反比例函数x＜0时y随x增大而减小的性质，确定a的符号；第二步，利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，即判别式Δ＞0，计算a的取值上限；第三步，结合两个条件得到a的取值范围，筛选出范围内的整数，最后求和即可。
【解析】
1. 根据反比例函数性质求a的范围：
反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$中，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明函数图象位于第一、三象限，因此$a＞0$。
2. 根据一元二次方程根的判别式求a的范围：
关于$x$的一元二次方程$2x^2 -5x +a=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
其中二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为a，代入得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×2× a ＞ 0$
$25 - 8a ＞ 0$
解得$a ＜ \frac{25}{8} = 3.125$。
3. 确定a的取值范围并求整数和：
结合两个条件可得$0 ＜ a ＜ 3.125$，且a为整数，因此满足条件的整数a为1、2、3。
整数和为$1+2+3=6$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；一元二次方程根的判别式；不等式组的整数解
【点评】
本题属于小综合题，解题的关键是不要遗漏题干给出的限制条件，准确求出参数的取值范围后再筛选符合要求的整数，计算时注意细心即可。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 下列各图中，点M,N均在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，其中阴影部分面积最小的是（）
答案
$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2$，回忆反比例函数$k$的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，矩形面积为$|k|$。接下来分别计算四个选项中阴影部分的面积，其中不规则图形的面积用割补法计算，最后比较四个面积的大小，找到最小的即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，即$k=2$，根据$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，形成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
逐个计算各选项阴影面积：
1. 选项A：已知$M(1,2)$，$N(2,1)$，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为$P(1,0)$、$Q(2,0)$。
则$S_{△ OMP}=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_{△ ONQ}=\frac{1}{2}×2×1=1$，梯形$MPQN$的面积$S_{梯}=\frac{1}{2}×(2+1)×(2-1)=\frac{3}{2}$。
阴影面积$S_A = S_{△ OMP} + S_{梯} - S_{△ ONQ} = 1 + \frac{3}{2} -1 = \frac{3}{2}$。
2. 选项B：两个阴影三角形均符合$k$的几何意义，每个面积为1，故$S_B=1+1=2$。
3. 选项C：两个阴影三角形面积均为1，故$S_C=1+1=2$。
4. 选项D：$M(1,2)$，$N(-1,-2)$，两个阴影三角形面积均为1，故$S_D=1+1=2$。
比较得$\frac{3}{2}＜2$，因此A的阴影面积最小。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，需要熟练掌握k的几何意义，同时能灵活运用割补法计算坐标系中不规则图形的面积，通过比较大小得出结果。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2$，回忆反比例函数$k$的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，矩形面积为$|k|$。接下来分别计算四个选项中阴影部分的面积，其中不规则图形的面积用割补法计算，最后比较四个面积的大小，找到最小的即可。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，即$k=2$，根据$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，形成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
逐个计算各选项阴影面积：
1. 选项A：已知$M(1,2)$，$N(2,1)$，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为$P(1,0)$、$Q(2,0)$。
则$S_{△ OMP}=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_{△ ONQ}=\frac{1}{2}×2×1=1$，梯形$MPQN$的面积$S_{梯}=\frac{1}{2}×(2+1)×(2-1)=\frac{3}{2}$。
阴影面积$S_A = S_{△ OMP} + S_{梯} - S_{△ ONQ} = 1 + \frac{3}{2} -1 = \frac{3}{2}$。
2. 选项B：两个阴影三角形均符合$k$的几何意义，每个面积为1，故$S_B=1+1=2$。
3. 选项C：两个阴影三角形面积均为1，故$S_C=1+1=2$。
4. 选项D：$M(1,2)$，$N(-1,-2)$，两个阴影三角形面积均为1，故$S_D=1+1=2$。
比较得$\frac{3}{2}＜2$，因此A的阴影面积最小。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，需要熟练掌握k的几何意义，同时能灵活运用割补法计算坐标系中不规则图形的面积，通过比较大小得出结果。
【难度系数】
0.65
4. 提升题 如图，直线$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）分别与反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＜0), y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象相交于点A，B，则OA与OB的比为（）
A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$9:4$
A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$9:4$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，我们可以利用函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的性质，结合勾股定理表示线段长度来求比值。思考路径如下：首先，点A同时在正比例函数和$y=\frac{2}{x}$上，点B同时在正比例函数和$y=\frac{3}{x}$上，我们可以先设出两点的坐标，再代入反比例函数解析式得到坐标与k的关系，最后用勾股定理分别表示OA、OB的长度，消去参数k后即可求出比值。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,kx_1)$（$x_1＜0$），点B的坐标为$(x_2,kx_2)$（$x_2＞0$）。
1. 代入A点到反比例函数：
因为A在$y=\frac{2}{x}$上，所以$kx_1=\frac{2}{x_1}$，整理得$k{x_1}^2=2$，即${x_1}^2=\frac{2}{k}$。
根据勾股定理：$OA=\sqrt{{x_1}^2+(kx_1)^2}=\sqrt{{x_1}^2(1+k^2)}$，因此$OA^2={x_1}^2(1+k^2)=\frac{2}{k}(1+k^2)$。
2. 代入B点到反比例函数：
因为B在$y=\frac{3}{x}$上，所以$kx_2=\frac{3}{x_2}$，整理得$k{x_2}^2=3$，即${x_2}^2=\frac{3}{k}$。
根据勾股定理：$OB=\sqrt{{x_2}^2+(kx_2)^2}=\sqrt{{x_2}^2(1+k^2)}$，因此$OB^2={x_2}^2(1+k^2)=\frac{3}{k}(1+k^2)$。
3. 求比值：
$\frac{OA^2}{OB^2}=\frac{\frac{2}{k}(1+k^2)}{\frac{3}{k}(1+k^2)}=\frac{2}{3}$，由于OA、OB均为线段长度（正数），因此$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即$OA:OB=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 勾股定理
3. 比例化简
【点评】
本题是函数与几何结合的常见题型，核心是利用函数解析式建立交点坐标的关系，计算过程中参数k会自动消去，不需要求出k的具体值，能很好地考查学生对函数性质的应用能力和简化计算的技巧。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以利用函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的性质，结合勾股定理表示线段长度来求比值。思考路径如下：首先，点A同时在正比例函数和$y=\frac{2}{x}$上，点B同时在正比例函数和$y=\frac{3}{x}$上，我们可以先设出两点的坐标，再代入反比例函数解析式得到坐标与k的关系，最后用勾股定理分别表示OA、OB的长度，消去参数k后即可求出比值。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,kx_1)$（$x_1＜0$），点B的坐标为$(x_2,kx_2)$（$x_2＞0$）。
1. 代入A点到反比例函数：
因为A在$y=\frac{2}{x}$上，所以$kx_1=\frac{2}{x_1}$，整理得$k{x_1}^2=2$，即${x_1}^2=\frac{2}{k}$。
根据勾股定理：$OA=\sqrt{{x_1}^2+(kx_1)^2}=\sqrt{{x_1}^2(1+k^2)}$，因此$OA^2={x_1}^2(1+k^2)=\frac{2}{k}(1+k^2)$。
2. 代入B点到反比例函数：
因为B在$y=\frac{3}{x}$上，所以$kx_2=\frac{3}{x_2}$，整理得$k{x_2}^2=3$，即${x_2}^2=\frac{3}{k}$。
根据勾股定理：$OB=\sqrt{{x_2}^2+(kx_2)^2}=\sqrt{{x_2}^2(1+k^2)}$，因此$OB^2={x_2}^2(1+k^2)=\frac{3}{k}(1+k^2)$。
3. 求比值：
$\frac{OA^2}{OB^2}=\frac{\frac{2}{k}(1+k^2)}{\frac{3}{k}(1+k^2)}=\frac{2}{3}$，由于OA、OB均为线段长度（正数），因此$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即$OA:OB=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 勾股定理
3. 比例化简
【点评】
本题是函数与几何结合的常见题型，核心是利用函数解析式建立交点坐标的关系，计算过程中参数k会自动消去，不需要求出k的具体值，能很好地考查学生对函数性质的应用能力和简化计算的技巧。
【难度系数】
0.7
二、填空题
5. 如图，一次函数 $ y_1 = k_1x + b(k_1 ＞ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2 ＞ 0) $ 的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2。当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，x的取值范围是。
5. 如图，一次函数 $ y_1 = k_1x + b(k_1 ＞ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2 ＞ 0) $ 的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2。当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，x的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{x ＜ -2 或 0 ＜ x ＜ 1}$
解析
【分析】
要解决一次函数值小于反比例函数值的x取值范围问题，核心是利用数形结合思想，观察两个函数图象的上下位置关系：当一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的x范围就是所求范围。首先先找分界点：两个函数的交点横坐标（x=1和x=-2），再加上反比例函数自变量不能为0（x=0），这三个点把x的所有取值分成4段，逐段判断图象位置即可。
【解析】
已知反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$，其图象位于第一、三象限，且自变量$x≠0$；
一次函数$y_1=k_1x+b(k_1＞0)$与反比例函数交于A、B两点，横坐标分别为1、-2，这两个交点是两个函数值相等的位置，因此以$x=-2$、$x=0$、$x=1$为分界点，将x的取值范围分为四段逐一判断：
1. 当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
4. 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求。
综上，满足$y_1＜y_2$的x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
$x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
【知识点】
一次函数图象与性质；反比例函数图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的关键是运用数形结合思想，结合交点和反比例函数自变量的取值范围划分区间，逐段判断图象的上下位置即可，注意不要忽略反比例函数$x≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决一次函数值小于反比例函数值的x取值范围问题，核心是利用数形结合思想，观察两个函数图象的上下位置关系：当一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的x范围就是所求范围。首先先找分界点：两个函数的交点横坐标（x=1和x=-2），再加上反比例函数自变量不能为0（x=0），这三个点把x的所有取值分成4段，逐段判断图象位置即可。
【解析】
已知反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$，其图象位于第一、三象限，且自变量$x≠0$；
一次函数$y_1=k_1x+b(k_1＞0)$与反比例函数交于A、B两点，横坐标分别为1、-2，这两个交点是两个函数值相等的位置，因此以$x=-2$、$x=0$、$x=1$为分界点，将x的取值范围分为四段逐一判断：
1. 当$x＜-2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$y_1＜y_2$；
4. 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$，不符合要求。
综上，满足$y_1＜y_2$的x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
$x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
【知识点】
一次函数图象与性质；反比例函数图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的关键是运用数形结合思想，结合交点和反比例函数自变量的取值范围划分区间，逐段判断图象的上下位置即可，注意不要忽略反比例函数$x≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过矩形OABC的边AB,BC上的点F,E,其中$CE=\frac{1}{3}CB$,$AF=\frac{1}{3}AB$,且四边形OEBF的面积为6,则k的值为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时首先运用反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$。我们可以先设矩形顶点B的坐标为$(a,b)$，据此表示出E、F两点的坐标，利用E、F在反比例函数图象上的条件，推导k与矩形OABC面积的关系，再根据“四边形OEBF的面积=矩形面积减去△OCE、△OAF的面积”建立关于k的方程，即可求出k的值。
【解析】
设矩形OABC的顶点B坐标为$(a,b)$，则矩形面积为$ab$，$OA=a$，$OC=b$，$CB=a$，$AB=b$。
∵$CE=\frac{1}{3}CB$，E在BC边上，
∴E点坐标为$(\frac{1}{3}a,b)$；
∵$AF=\frac{1}{3}AB$，F在AB边上，
∴F点坐标为$(a,\frac{1}{3}b)$。
∵E、F都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将E代入解析式得：
$b=\frac{k}{\frac{1}{3}a}$，整理得$k=\frac{ab}{3}$，即$ab=3k$。
根据反比例函数k的几何意义：$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}k$，$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}k$。
由题意得：$S_{四边形OEBF}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCE}-S_{△ OAF}=6$，
代入得：$3k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$，
化简得$2k=6$，解得$k=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题的核心是抓住反比例函数上点的坐标特征和k的几何意义，将图形面积关系转化为关于k的方程求解，思路清晰，技巧性不强，只要掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题时首先运用反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$。我们可以先设矩形顶点B的坐标为$(a,b)$，据此表示出E、F两点的坐标，利用E、F在反比例函数图象上的条件，推导k与矩形OABC面积的关系，再根据“四边形OEBF的面积=矩形面积减去△OCE、△OAF的面积”建立关于k的方程，即可求出k的值。
【解析】
设矩形OABC的顶点B坐标为$(a,b)$，则矩形面积为$ab$，$OA=a$，$OC=b$，$CB=a$，$AB=b$。
∵$CE=\frac{1}{3}CB$，E在BC边上，
∴E点坐标为$(\frac{1}{3}a,b)$；
∵$AF=\frac{1}{3}AB$，F在AB边上，
∴F点坐标为$(a,\frac{1}{3}b)$。
∵E、F都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将E代入解析式得：
$b=\frac{k}{\frac{1}{3}a}$，整理得$k=\frac{ab}{3}$，即$ab=3k$。
根据反比例函数k的几何意义：$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}k$，$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}k$。
由题意得：$S_{四边形OEBF}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCE}-S_{△ OAF}=6$，
代入得：$3k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$，
化简得$2k=6$，解得$k=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题的核心是抓住反比例函数上点的坐标特征和k的几何意义，将图形面积关系转化为关于k的方程求解，思路清晰，技巧性不强，只要掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
