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8. 提升题 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。
(1)求k的值。
(2)设点M在反比例函数的图象上,连接MA,MD。若$△ MAD$的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$,求点M的坐标。
(1)求k的值。
(2)设点M在反比例函数的图象上,连接MA,MD。若$△ MAD$的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$,求点M的坐标。
答案
解：(1) 过点D作DH⊥x轴于点H，
∵点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$，
∴$OD=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=OD=\frac{5}{2}$，且$AD// y$轴，
∴点A的横坐标为2，纵坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即$A(2,4)$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=2×4=8$。
(2) 菱形ABCD的面积$S_{菱形ABCD}=AD× 2=\frac{5}{2}×2=5$，
∴$S_{△ MAD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}=\frac{5}{4}$。
设点M到直线AD（直线$x=2$）的距离为h，
由$S_{△ MAD}=\frac{1}{2}· AD· h=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}× h=\frac{5}{4}$，解得$h=1$。
∵点M在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，$x＞0$，
① 当点M的横坐标为$2+1=3$时，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=\frac{8}{3}$，即$M(3,\frac{8}{3})$；
② 当点M的横坐标为$2-1=1$时，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=8$，即$M(1,8)$。
综上，(1) $k=8$；(2) 点M的坐标为$(1,8)$或$(3,\frac{8}{3})$。
∵点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$，
∴$OD=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=OD=\frac{5}{2}$，且$AD// y$轴，
∴点A的横坐标为2，纵坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即$A(2,4)$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=2×4=8$。
(2) 菱形ABCD的面积$S_{菱形ABCD}=AD× 2=\frac{5}{2}×2=5$，
∴$S_{△ MAD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}=\frac{5}{4}$。
设点M到直线AD（直线$x=2$）的距离为h，
由$S_{△ MAD}=\frac{1}{2}· AD· h=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}× h=\frac{5}{4}$，解得$h=1$。
∵点M在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，$x＞0$，
① 当点M的横坐标为$2+1=3$时，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=\frac{8}{3}$，即$M(3,\frac{8}{3})$；
② 当点M的横坐标为$2-1=1$时，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=8$，即$M(1,8)$。
综上，(1) $k=8$；(2) 点M的坐标为$(1,8)$或$(3,\frac{8}{3})$。
解析
【分析】
(1) 要求k的值，需先得到反比例函数上点A的坐标。首先过点D作x轴的垂线，用勾股定理求出OD的长度，结合菱形边长相等、AD平行于y轴的性质，可推出点A的横、纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 先计算菱形ABCD的面积，进而得到△MAD的面积。由于AD是垂直于x轴的线段，△MAD的高就是点M到直线AD（x=2）的水平距离，结合三角形面积公式求出该距离，再分点M在AD左侧、右侧两种情况，代入反比例函数解析式即可求出点M的坐标。
【解析】
(1) 过点D作$DH⊥x$轴于点H，
∵点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$，
∴由勾股定理得$OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=OD=\frac{5}{2}$，且$AD// y$轴，
∴点A的横坐标与D相同为2，纵坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即$A(2,4)$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴将$A(2,4)$代入解析式得$k=2×4=8$。
(2) 菱形ABCD的面积$S_{菱形ABCD}=AD×2=\frac{5}{2}×2=5$，
∴$S_{△MAD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
设点M到直线AD（直线$x=2$）的距离为h，
由三角形面积公式得$S_{△MAD}=\frac{1}{2}· AD· h$，代入得$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}× h=\frac{5}{4}$，解得$h=1$。
∵点M在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，且$x＞0$，
① 当点M在AD右侧时，横坐标为$2+1=3$，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=\frac{8}{3}$，即$M(3,\frac{8}{3})$；
② 当点M在AD左侧时，横坐标为$2-1=1$，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=8$，即$M(1,8)$。
【答案】
(1) $k=8$；(2) 点M的坐标为$(1,8)$或$(3,\frac{8}{3})$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题关键是灵活运用菱形的性质确定点A的坐标，第二问求解时要注意分类讨论点M的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要求k的值，需先得到反比例函数上点A的坐标。首先过点D作x轴的垂线，用勾股定理求出OD的长度，结合菱形边长相等、AD平行于y轴的性质，可推出点A的横、纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 先计算菱形ABCD的面积，进而得到△MAD的面积。由于AD是垂直于x轴的线段，△MAD的高就是点M到直线AD（x=2）的水平距离，结合三角形面积公式求出该距离，再分点M在AD左侧、右侧两种情况，代入反比例函数解析式即可求出点M的坐标。
【解析】
(1) 过点D作$DH⊥x$轴于点H，
∵点D的坐标为$(2,\frac{3}{2})$，
∴由勾股定理得$OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD=OD=\frac{5}{2}$，且$AD// y$轴，
∴点A的横坐标与D相同为2，纵坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即$A(2,4)$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴将$A(2,4)$代入解析式得$k=2×4=8$。
(2) 菱形ABCD的面积$S_{菱形ABCD}=AD×2=\frac{5}{2}×2=5$，
∴$S_{△MAD}=\frac{1}{4}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
设点M到直线AD（直线$x=2$）的距离为h，
由三角形面积公式得$S_{△MAD}=\frac{1}{2}· AD· h$，代入得$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}× h=\frac{5}{4}$，解得$h=1$。
∵点M在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，且$x＞0$，
① 当点M在AD右侧时，横坐标为$2+1=3$，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=\frac{8}{3}$，即$M(3,\frac{8}{3})$；
② 当点M在AD左侧时，横坐标为$2-1=1$，代入$y=\frac{8}{x}$得$y=8$，即$M(1,8)$。
【答案】
(1) $k=8$；(2) 点M的坐标为$(1,8)$或$(3,\frac{8}{3})$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题关键是灵活运用菱形的性质确定点A的坐标，第二问求解时要注意分类讨论点M的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 提升题 如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+b$ 分别交x轴、y轴于点A，C。P是直线AC与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象的交点，过点P作 $PB ⊥ x$ 轴于点B，已知 $OB=2, PB=4$。
(1)求这个反比例函数的表达式。
(2)连接BC，求$△ ABC$ 的面积。
(3)观察图象，直接写出在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值。
(1)求这个反比例函数的表达式。
(2)连接BC，求$△ ABC$ 的面积。
(3)观察图象，直接写出在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值。
答案
解：
(1) 由$OB=2$，$PB=4$，$PB⊥ x$轴，可得点$P$的坐标为$(2,4)$。
将$P(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 将$P(2,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+b$，得$4=\frac{1}{2}×2 +b$，
解得$b=3$，
所以直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$；
令$x=0$，则$y=3$，即$C(0,3)$。
可得$OA=6$，$OC=3$，$AB=OA+OB=6+2=8$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×8×3=12$。
(3) 在第一象限内，当$0＜x＜2$时，一次函数的值小于反比例函数的值。
(1) 由$OB=2$，$PB=4$，$PB⊥ x$轴，可得点$P$的坐标为$(2,4)$。
将$P(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 将$P(2,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+b$，得$4=\frac{1}{2}×2 +b$，
解得$b=3$，
所以直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$；
令$x=0$，则$y=3$，即$C(0,3)$。
可得$OA=6$，$OC=3$，$AB=OA+OB=6+2=8$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×8×3=12$。
(3) 在第一象限内，当$0＜x＜2$时，一次函数的值小于反比例函数的值。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式需先确定其图象上的点坐标，根据OB=2、PB=4且PB垂直x轴，可直接得到点P的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值得到解析式。(2) 求△ABC的面积，先将点P坐标代入一次函数求出b得到直线AC的解析式，再分别令一次函数的y=0、x=0，得到点A、C的坐标，以AB为底、OC为高即可计算三角形面积。(3) 比较函数值大小，结合第一象限内两函数的图象位置，找一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 由$OB=2$，$PB=4$，$PB ⊥ x$轴，且点P在第一象限，可得点$P$的坐标为$(2,4)$。将$P(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得$k=8$，因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 将$P(2,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+b$，得$4=\frac{1}{2} × 2 +b$，解得$b=3$，所以直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$；令$x=0$，则$y=3$，即$C(0,3)$。可得$OA=6$，$OC=3$，$AB=OA+OB=6+2=8$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 8 × 3=12$。
(3) 观察第一象限内的函数图象，一次函数与反比例函数交点横坐标为2，当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即一次函数的值小于反比例函数的值。
【答案】
(1) $y=\frac{8}{x}$；(2) $12$；(3) $0＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，函数图象与不等式关系
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题核心是先通过已知线段长度确定交点P的坐标，再结合函数性质依次求解，第三问需结合图象分析，不要遗漏第一象限x＞0的限制条件。
【难度系数】
0.65
(1) 求反比例函数表达式需先确定其图象上的点坐标，根据OB=2、PB=4且PB垂直x轴，可直接得到点P的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值得到解析式。(2) 求△ABC的面积，先将点P坐标代入一次函数求出b得到直线AC的解析式，再分别令一次函数的y=0、x=0，得到点A、C的坐标，以AB为底、OC为高即可计算三角形面积。(3) 比较函数值大小，结合第一象限内两函数的图象位置，找一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 由$OB=2$，$PB=4$，$PB ⊥ x$轴，且点P在第一象限，可得点$P$的坐标为$(2,4)$。将$P(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得$k=8$，因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 将$P(2,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+b$，得$4=\frac{1}{2} × 2 +b$，解得$b=3$，所以直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。令$y=0$，则$0=\frac{1}{2}x+3$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$；令$x=0$，则$y=3$，即$C(0,3)$。可得$OA=6$，$OC=3$，$AB=OA+OB=6+2=8$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 8 × 3=12$。
(3) 观察第一象限内的函数图象，一次函数与反比例函数交点横坐标为2，当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即一次函数的值小于反比例函数的值。
【答案】
(1) $y=\frac{8}{x}$；(2) $12$；(3) $0＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，函数图象与不等式关系
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题核心是先通过已知线段长度确定交点P的坐标，再结合函数性质依次求解，第三问需结合图象分析，不要遗漏第一象限x＞0的限制条件。
【难度系数】
0.65
