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1. 下列直线是圆的切线的是 （
A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
B
）A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时先回忆切线的三类判定依据：一是定义（与圆仅有唯一公共点）；二是判定定理（过半径外端且垂直于该半径）；三是数量关系（圆心到直线的距离等于半径）。接下来逐一将选项与判定依据比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
A. 与圆有公共点的直线可能是割线（有2个公共点），只有与圆有且仅有1个公共点的直线才是切线，因此A错误；
B. 根据直线与圆相切的数量特征：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线，因此B正确；
C. 仅垂直于圆的半径、但未经过半径外端的直线不是切线，比如过圆心且垂直于某条半径的直线与圆交于两点，属于割线，因此C错误；
D. 仅过圆直径外端点、但不垂直于该直径的直线不是切线，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题重点考查对圆的切线判定条件的辨析，需要注意切线判定定理中“经过半径外端”“垂直于半径”两个条件缺一不可，做题时要仔细核对选项是否满足全部判定要求，避免因漏看条件错选。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定，解题时先回忆切线的三类判定依据：一是定义（与圆仅有唯一公共点）；二是判定定理（过半径外端且垂直于该半径）；三是数量关系（圆心到直线的距离等于半径）。接下来逐一将选项与判定依据比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
A. 与圆有公共点的直线可能是割线（有2个公共点），只有与圆有且仅有1个公共点的直线才是切线，因此A错误；
B. 根据直线与圆相切的数量特征：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线，因此B正确；
C. 仅垂直于圆的半径、但未经过半径外端的直线不是切线，比如过圆心且垂直于某条半径的直线与圆交于两点，属于割线，因此C错误；
D. 仅过圆直径外端点、但不垂直于该直径的直线不是切线，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题重点考查对圆的切线判定条件的辨析，需要注意切线判定定理中“经过半径外端”“垂直于半径”两个条件缺一不可，做题时要仔细核对选项是否满足全部判定要求，避免因漏看条件错选。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁沭阳县期中)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D。若∠AOC=80°，则∠ADB的度数是（
A.40°
B.50°
C.60°
D.20°
B
）A.40°
B.50°
C.60°
D.20°
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AE是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥AE，即△ABD是直角三角形，要求∠ADB，只需要求出锐角∠B的度数即可；接下来∠AOC是圆心角，它和圆周角∠B都对应弧AC，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥AE，即∠BAD=90°，
∵∠AOC=80°，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
在Rt△ABD中，∠ADB+∠B=90°，
∴∠ADB=90°-40°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将切线的性质、圆周角定理和直角三角形内角性质结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，再结合切线得到直角三角形求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先AE是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥AE，即△ABD是直角三角形，要求∠ADB，只需要求出锐角∠B的度数即可；接下来∠AOC是圆心角，它和圆周角∠B都对应弧AC，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥AE，即∠BAD=90°，
∵∠AOC=80°，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
在Rt△ABD中，∠ADB+∠B=90°，
∴∠ADB=90°-40°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将切线的性质、圆周角定理和直角三角形内角性质结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，再结合切线得到直角三角形求解，难度不大。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宿迁宿城区期末)如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$与$x$轴相切,与$y$轴相交于$A(0,2),B(0,8)$,则圆心$P$的坐标是 (
A.$(5,3)$
B.$(5,4)$
C.$(3,5)$
D.$(4,5)$
D
)A.$(5,3)$
B.$(5,4)$
C.$(3,5)$
D.$(4,5)$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时可按三步推导：①先根据圆与y轴交于A、B两点，利用垂径定理确定圆心的纵坐标：竖直弦AB的垂直平分线是水平线，平分AB，可先求出AB中点的纵坐标，即为圆心的纵坐标；②结合圆与x轴相切的性质，圆心到x轴的距离等于半径，可得半径长度等于圆心的纵坐标；③设圆心横坐标为x，利用圆心到A点的距离等于半径，结合勾股定理列方程求解横坐标，即可得到圆心P的坐标。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，$PD⊥ x$轴于点D。
$\because A(0,2),B(0,8)$，$\therefore AB=8-2=6$，
由垂径定理得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore$点C的坐标为$(0,2+3)=(0,5)$，即圆心P的纵坐标为5。
$\because \odot P$与x轴相切，$\therefore \odot P$的半径$r=PD=5$，即$PA=r=5$。
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
PC为点P到y轴的距离，且圆在y轴右侧，故P的横坐标为4，
$\therefore$圆心P的坐标为$(4,5)$。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用垂径定理和切线的性质定位圆心的纵坐标，再结合勾股定理求解横坐标，对圆的基础性质应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：①先根据圆与y轴交于A、B两点，利用垂径定理确定圆心的纵坐标：竖直弦AB的垂直平分线是水平线，平分AB，可先求出AB中点的纵坐标，即为圆心的纵坐标；②结合圆与x轴相切的性质，圆心到x轴的距离等于半径，可得半径长度等于圆心的纵坐标；③设圆心横坐标为x，利用圆心到A点的距离等于半径，结合勾股定理列方程求解横坐标，即可得到圆心P的坐标。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，$PD⊥ x$轴于点D。
$\because A(0,2),B(0,8)$，$\therefore AB=8-2=6$，
由垂径定理得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore$点C的坐标为$(0,2+3)=(0,5)$，即圆心P的纵坐标为5。
$\because \odot P$与x轴相切，$\therefore \odot P$的半径$r=PD=5$，即$PA=r=5$。
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
PC为点P到y轴的距离，且圆在y轴右侧，故P的横坐标为4，
$\therefore$圆心P的坐标为$(4,5)$。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用垂径定理和切线的性质定位圆心的纵坐标，再结合勾股定理求解横坐标，对圆的基础性质应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
4.(2025·安徽)如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的大小为
20
°.答案
4.20
解析
【分析】
遇到切线已知的题型，首先考虑连接圆心与切点构造垂直关系，这是切线类问题的常用辅助线思路。第一步，连接OB，利用切线性质得到直角三角形PBO；第二步，结合已知的∠P的度数，在直角三角形中求出∠POB的度数；第三步，利用同圆半径相等得到等腰三角形OAB，再结合三角形外角的性质，即可推导求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OB、OA均为⊙O的半径，
∴ OB=OA，即△OAB为等腰三角形，
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到切线已知的题型，首先考虑连接圆心与切点构造垂直关系，这是切线类问题的常用辅助线思路。第一步，连接OB，利用切线性质得到直角三角形PBO；第二步，结合已知的∠P的度数，在直角三角形中求出∠POB的度数；第三步，利用同圆半径相等得到等腰三角形OAB，再结合三角形外角的性质，即可推导求出∠PAB的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OB、OA均为⊙O的半径，
∴ OB=OA，即△OAB为等腰三角形，
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.(2025·湖南)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB=120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC.
(1)求∠ACO的度数；
(2)求证:AC=BC.
(1)求∠ACO的度数；
(2)求证:AC=BC.
答案
5.(1)解:
∵BC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CB,
∴∠OCB=90°,
∴∠ACO=∠ACB−∠OCB=120°−90°=30°.
(2)证明:
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°,
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−120°−30°=30°,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC.
∵BC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CB,
∴∠OCB=90°,
∴∠ACO=∠ACB−∠OCB=120°−90°=30°.
(2)证明:
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°,
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−120°−30°=30°,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC.
解析
【分析】
(1) 求解∠ACO的度数时，先根据切线的性质得到垂直关系推出∠OCB的度数，再结合已知的∠ACB的度数，用大角减小角即可求出目标角。(2) 要证明AC=BC，可通过证明两角相等推导边相等：首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，推出∠A的度数，再结合三角形内角和定理求出∠B的度数，验证∠A和∠B相等即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠ACB−∠OCB=120°−90°=30°。
(2) 证明：
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−120°−30°=30°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC。
【答案】
(1) ∠ACO=30°；(2) AC=BC，证明成立。
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题关键是熟练运用切线性质得到垂直关系，结合三角形相关定理推导角的等量关系，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求解∠ACO的度数时，先根据切线的性质得到垂直关系推出∠OCB的度数，再结合已知的∠ACB的度数，用大角减小角即可求出目标角。(2) 要证明AC=BC，可通过证明两角相等推导边相等：首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，推出∠A的度数，再结合三角形内角和定理求出∠B的度数，验证∠A和∠B相等即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠ACB−∠OCB=120°−90°=30°。
(2) 证明：
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−120°−30°=30°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC。
【答案】
(1) ∠ACO=30°；(2) AC=BC，证明成立。
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题关键是熟练运用切线性质得到垂直关系，结合三角形相关定理推导角的等量关系，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
6.(2025·福建)如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C. AB//PC，且交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的大小为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
6.C
解析
【分析】
解决本题首先想到切线的性质，连接切点A和圆心O，得到OA⊥PA，先在直角三角形PAO中求出∠AOP的度数，进而得到弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；再利用圆周角定理求出弧AC对应的圆周角∠ABC的度数，最后结合AB//PC的平行线性质，通过内错角相等即可得到∠BCP的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=60°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ AOP=120°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧$AC$所对的圆周角为$∠ ABC$，圆心角为$∠ AOC$，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又
∵$AB// PC$，
∴$∠ BCP=∠ ABC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是掌握切线常作的辅助线：连接切点与圆心，再结合圆周角定理、平行线的性质逐步推导角的度数，考查了学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先想到切线的性质，连接切点A和圆心O，得到OA⊥PA，先在直角三角形PAO中求出∠AOP的度数，进而得到弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；再利用圆周角定理求出弧AC对应的圆周角∠ABC的度数，最后结合AB//PC的平行线性质，通过内错角相等即可得到∠BCP的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=60°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ AOP=120°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧$AC$所对的圆周角为$∠ ABC$，圆心角为$∠ AOC$，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又
∵$AB// PC$，
∴$∠ BCP=∠ ABC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是掌握切线常作的辅助线：连接切点与圆心，再结合圆周角定理、平行线的性质逐步推导角的度数，考查了学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
