7.(2025·宿迁泗洪县期中)已知圆的直径是6,圆心到直线的距离是一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的一个根,则直线与圆的位置关系是 （）

A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定

7.B

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，需先明确两个关键量：圆的半径$r$、圆心到直线的距离$d$，再通过比较$d$和$r$的大小关系得出结论。解题步骤如下：①根据圆的直径计算半径$r$；②解一元二次方程得到根，结合距离的非负性确定$d$的取值；③对比$d$和$r$的大小，对应位置关系判定规则得出结果。
【解析】
1. 计算圆的半径：
已知圆的直径为6，因此圆的半径$r=\frac{6}{2}=3$。
2. 求解一元二次方程，确定距离$d$：
解方程$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
因为圆心到直线的距离为非负数，因此舍去负根$x=-1$，得$d=4$。
3. 判定位置关系：
对比$d$和$r$的大小，$d=4＞r=3$，根据判定规则，当$d＞r$时，直线与圆相离。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和几何位置关系判定结合，解题时要注意距离的非负性，需舍去方程的负根，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.7

8.(2025·宿迁宿豫区期中)如图，∠BAC=45°，点O在AC上，且AO=4，以点O为圆心，r为半径画圆.若∠BAC的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围为.

8.2√2＜r≤4

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合直线与圆的位置关系、射线的特征分析临界情况：首先，若AB与⊙O有两个公共点，首先要保证直线AB和圆相交，即半径r大于圆心O到AB的距离，我们可以通过解直角三角形求出这个距离；其次，注意AB是∠BAC的边，是从A出发的射线，若半径r超过AO的长度，点A会落在圆内，此时射线AB和圆仅能有1个交点，因此r还不能超过AO的长度，综合两个条件即可得到r的取值范围。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，
在Rt△AOD中，∠BAC=45°，AO=4，
∴ $OD = AO·\sin45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，即圆心O到AB的距离为$2\sqrt{2}$。
∵ 射线AB与⊙O有两个公共点，
∴ 首先需满足直线AB与⊙O相交，即$r＞OD=2\sqrt{2}$；
其次需保证点A不在⊙O内部（否则射线AB仅与圆有1个交点），即$OA≥ r$，也就是$r≤4$。
综上，r的取值范围是$2\sqrt{2}＜r≤4$。
【答案】
$2\sqrt{2}＜r≤4$
【知识点】
直线与圆的位置关系；解直角三角形；点与圆的位置关系
【点评】
本题解题的关键是明确直线与圆相交的条件，同时注意题干中AB是角的边（射线）而非直线，需结合图形分析点A的位置对交点个数的影响，避免漏写r≤4的限制条件。
【难度系数】
0.6

9.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3,1),若$\odot A$与坐标轴有三个公共点,则$\odot A$的半径为.

9.√10或3

【分析】
要解决本题，需先明确⊙A与坐标轴有三个公共点的两种可能情况：①圆经过原点，此时原点是圆与x轴、y轴的公共交点，总共得到3个不同的公共点；②圆与其中一条坐标轴相切，同时与另一条坐标轴相交。首先计算点A到x轴、y轴的距离，再结合直线与圆的位置关系分别计算对应的半径，排除不符合的情况即可。
【解析】
已知点A坐标为(3,1)，则点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值：$d_x=|1|=1$，到y轴的距离为横坐标的绝对值：$d_y=|3|=3$。
分两种符合条件的情况讨论：
1. 当⊙A经过坐标原点O时，⊙A与x轴交于原点和另一个交点，与y轴交于原点和另一个交点，共3个公共点。此时半径等于OA的长度，由两点间距离公式得：
$r = OA = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$。
2. 当⊙A与y轴相切时，半径等于点A到y轴的距离，即$r=d_y=3$。此时$r=3＞d_x=1$，可知⊙A与x轴相交，有2个交点，加上与y轴的1个切点，共3个公共点，符合要求。
若⊙A与x轴相切，此时$r=d_x=1$，而$r=1＜d_y=3$，⊙A与y轴无交点，总共只有1个公共点，不符合题意，舍去。
综上，⊙A的半径为$\sqrt{10}$或3。
【答案】
$\sqrt{10}$或3
【知识点】
直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是分类讨论所有可能的交点情况，不要漏去过原点的情形，同时要注意验证半径是否满足和另一条坐标轴相交的要求，避免出现多解、漏解错误。
【难度系数】
0.6

10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$AB=4$,以$AC$边上的一点$O$为圆心,$OA$长为半径作$\odot O$,若$\odot O$与边$BC$始终有交点(包括$B,C$两点),则线段$AO$的取值范围是________。

10.√3≤OA≤4/3√3

【分析】
要确定OA的取值范围，需先求出Rt△ABC的各边长度，再结合圆与线段BC有交点的两种临界情况分析：①当⊙O与BC相切时，OA取得最小值；②当⊙O经过点B时，OA取得最大值，分别计算两个临界值即可得到取值范围。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$：
$\therefore BC=AB·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$，$AC=AB·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
设$OA=r$，则$OC=AC-OA=2\sqrt{3}-r$。
1. 当$\odot O$与$BC$相切时，圆心$O$到$BC$的距离等于半径$r$。
$\because ∠ C=90°$，即$AC⊥ BC$，$\therefore O$到$BC$的距离为$OC$的长度，
$\therefore OC=r$，即$2\sqrt{3}-r=r$，解得$r=\sqrt{3}$，此时$OA$取最小值$\sqrt{3}$。
2. 当$\odot O$经过点$B$时，$OB=OA=r$，在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC^2+BC^2=OB^2$，即$(2\sqrt{3}-r)^2+2^2=r^2$，
展开化简得：$12-4\sqrt{3}r+r^2+4=r^2$，即$16=4\sqrt{3}r$，
解得$r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时$OA$取最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
综上，$OA$的取值范围是$\sqrt{3}\le OA\le \frac{4}{3}\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}\le OA\le \frac{4}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题解题的核心是找准圆与线段BC有交点的两种临界状态，结合直角三角形性质和勾股定理计算临界值，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6

11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，以点$C$为圆心的圆的半径为$r$，试探究$\odot C$与斜边$AB$公共点的个数与半径$r$的关系.

11.解:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.

∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=√(6²+8²)=10,
由三角形的面积公式得1/2 AC·BC=1/2 AB·CD,
∴CD=4.8.
①如果⊙C与斜边AB没有公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是0＜r＜4.8或r＞8.
②如果⊙C与斜边AB只有一个公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8.
③如果⊙C与斜边AB有两个公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是4.8＜r≤6.

【分析】
要探究⊙C与斜边AB的公共点个数，需结合直线与圆的位置关系、线段端点与圆的位置关系综合分析。首先先求出圆心C到AB所在直线的距离（即Rt△ABC斜边上的高），再结合端点A、B到圆心C的距离（AC=6，BC=8）分情况讨论。解题时需注意AB是线段而非直线，不能仅用圆心到直线的距离判断位置关系，还要考虑端点是否在圆上或圆内，同时注意临界值的取舍。
【解析】
1. 求圆心C到AB的距离：
过点C作CD⊥AB于点D。
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，解得$CD=4.8$。
2. 分情况讨论公共点个数与r的关系：
① 无公共点的情况：
当圆与AB所在直线相离时，线段AB与圆无交点，此时$r＜CD=4.8$，结合半径$r＞0$，即$0＜r＜4.8$；
当半径过大，线段AB全部落在圆内部时，AB上所有点到C的距离都小于r，AB上到C最远的点为B，$BC=8$，故$r＞8$时AB与圆周无交点。
综上，$0＜r＜4.8$或$r＞8$时，⊙C与AB无公共点。
② 只有1个公共点的情况：
当圆与AB所在直线相切时，仅切点一个公共点，此时$r=CD=4.8$；
当圆与AB所在直线相交，但仅1个交点落在线段AB上时，A在圆内、B在圆上或圆外，即$AC＜r≤BC$，也就是$6＜r≤8$。
综上，$r=4.8$或$6＜r≤8$时，⊙C与AB只有1个公共点。
③ 有2个公共点的情况：
此时圆与AB所在直线相交，且2个交点都落在线段AB上，需满足$r＞CD=4.8$，且A在圆上或圆外，即$r≤AC=6$，故$4.8＜r≤6$。
【答案】
解:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.

∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=√(6²+8²)=10,
由三角形的面积公式得$\frac{1}{2} AC·BC=\frac{1}{2} AB·CD$,
∴CD=4.8.
①如果⊙C与斜边AB没有公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是0＜r＜4.8或r＞8.
②如果⊙C与斜边AB只有一个公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8.
③如果⊙C与斜边AB有两个公共点,
那么⊙C的半径r的取值范围是4.8＜r≤6.
【知识点】
勾股定理，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系
【点评】
本题易错点是忽略AB为线段，仅按直线与圆的位置关系判断，解题时要结合线段端点到圆心的距离综合分析，分类讨论时需注意临界值的取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

12.如图,直线l过边长为10的正方形中心A,且与正方形的一组对边平行,点B在直线l上,AB=7,⊙B的半径等于r.
(1)当r=时,圆与正方形只有1个公共点;
(2)当圆与正方形有2个公共点时,求r的取值范围;
(3)圆与正方形公共点的个数还有其他情况吗?如果有,请写出相应的r的取值范围.

12.(1)2
(2)解:圆与正方形左边相切时,r=AB+5=12,
∴2＜r＜12时,圆与正方形有2个公共点.
当公共点是左边顶点时,r=√(5²+12²)=13,
∴r的取值范围是2＜r＜12或r=13.
(3)解:当0＜r＜2或r＞13时,圆与正方形没有公共点.
当r=12时,圆与正方形有3个公共点.
当12＜r＜13时,圆与正方形有4个公共点.

【分析】
首先梳理已知条件：正方形边长为10，中心A到正方形左右侧边的距离均为边长的一半即5；已知AB=7，先算出点B到正方形右侧边、左侧边，以及到正方形左边缘两个顶点的距离，再按半径r从小到大的顺序，结合圆与正方形的位置关系，抓住相切、过顶点等临界情况分情况讨论公共点个数即可。
【解析】
首先计算基础距离：
正方形边长为10，中心A到正方形右边缘的距离为$\frac{10}{2}=5$，已知AB=7，因此：
点B到正方形右边缘的距离：$7-5=2$；
点B到正方形左边缘的距离：$7+5=12$；
点B到正方形左上、左下顶点的距离：由勾股定理得$\sqrt{5^2+12^2}=13$。
(1) 圆与正方形只有1个公共点时，圆刚好和正方形右边缘相切，此时半径r等于点B到右边缘的距离，即$r=2$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$2＜r＜12$时，圆穿过正方形右边缘，还未碰到左边缘，此时圆与正方形有2个公共点；
② 当$r=13$时，圆刚好经过正方形的左上、左下两个顶点，此时圆与正方形只有这2个公共点。
综上，r的取值范围是$2＜r＜12$或$r=13$。
(3) 还有其他情况，按r的范围分类：
① 当$0＜r＜2$时，圆完全在正方形右侧，和正方形没有公共点；当$r＞13$时，正方形完全在圆内部，也没有公共点，即$0＜r＜2$或$r＞13$时，公共点个数为0；
② 当$r=12$时，圆和正方形左边缘相切，同时和右边缘有2个交点，共3个公共点；
③ 当$12＜r＜13$时，圆穿过正方形左右边缘，和左边缘、右边缘各有2个交点，共4个公共点。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{2＜r＜12}$或$\boxed{r=13}$
(3) 有；当$\boxed{0＜r＜2}$或$\boxed{r＞13}$时，有0个公共点；当$\boxed{r=12}$时，有3个公共点；当$\boxed{12＜r＜13}$时，有4个公共点。
【知识点】
直线与圆的位置关系；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题需要结合图形分情况讨论圆与正方形的位置关系，解题的关键是找准相切、过顶点等临界位置对应的r值，避免漏解。
【难度系数】
0.6