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4. 把 $-9x^{3}+6x^{2}-3x$ 分解因式时,提出公因式后,另一个因式是().
A.$3x^{2}-2x$
B.$3x^{2}-2x - 1$
C.$-9x^{2}+6x$
D.$3x^{2}-2x + 1$
A.$3x^{2}-2x$
B.$3x^{2}-2x - 1$
C.$-9x^{2}+6x$
D.$3x^{2}-2x + 1$
答案
D
解析
原式为$-9x^{3}+6x^{2}-3x$，首先提取公因式$-3x$，
原式$=-3x(3x^{2}-2x + 1 )$，
提出公因式后，另一个因式为$3x^{2}-2x + 1$。
原式$=-3x(3x^{2}-2x + 1 )$，
提出公因式后，另一个因式为$3x^{2}-2x + 1$。
5. 分解因式:
(1)$3m^{2}-6m=$;
(2)$4x^{2}y-12xy=$.
(1)$3m^{2}-6m=$;
(2)$4x^{2}y-12xy=$.
答案
(1) $3m(m - 2)$
(2) $4xy(x - 3)$
(2) $4xy(x - 3)$
解析
(1) 对于 $3m^{2} - 6m$，首先观察两项的公因式，发现可以提取 $3m$ 作为公因式。
$3m^{2} - 6m = 3m × m - 3m × 2 = 3m(m - 2)$
(2) 对于 $4x^{2}y - 12xy$，观察两项的公因式，发现可以提取 $4xy$ 作为公因式。
$4x^{2}y - 12xy = 4xy × x - 4xy × 3 = 4xy(x - 3)$
$3m^{2} - 6m = 3m × m - 3m × 2 = 3m(m - 2)$
(2) 对于 $4x^{2}y - 12xy$，观察两项的公因式，发现可以提取 $4xy$ 作为公因式。
$4x^{2}y - 12xy = 4xy × x - 4xy × 3 = 4xy(x - 3)$
6. 把 $5(a - b)+m(b - a)$ 提公因式后一个因式是 $(a - b)$,则另一个因式是().
A.$5 - m$
B.$5 + m$
C.$m - 5$
D.$-m - 5$
A.$5 - m$
B.$5 + m$
C.$m - 5$
D.$-m - 5$
答案
A
解析
原式$5(a - b)+m(b - a)$可变形为$5(a - b)-m(a - b)$，
提取公因式$(a - b)$可得$(a - b)(5 - m)$。
所以另一个因式是$5 - m$。
提取公因式$(a - b)$可得$(a - b)(5 - m)$。
所以另一个因式是$5 - m$。
7. 分解因式:
(1)$2x(x + y)-6(x + y)$;
(2)$m(a - 3)+2m^{2}(3 - a)$.
(1)$2x(x + y)-6(x + y)$;
(2)$m(a - 3)+2m^{2}(3 - a)$.
答案
(1)
$2x(x + y)-6(x + y)$
$=(x + y)(2x - 6)$
$ = 2(x + y)(x - 3)$
(2)
$m(a - 3)+2m^{2}(3 - a)$
$=m(a - 3)-2m^{2}(a - 3)$
$=(a - 3)(m - 2m^{2})$
$=m(a - 3)(1 - 2m)$
$2x(x + y)-6(x + y)$
$=(x + y)(2x - 6)$
$ = 2(x + y)(x - 3)$
(2)
$m(a - 3)+2m^{2}(3 - a)$
$=m(a - 3)-2m^{2}(a - 3)$
$=(a - 3)(m - 2m^{2})$
$=m(a - 3)(1 - 2m)$
8. 将多项式 $(a - 1)^{2}-a + 1$ 分解因式,结果正确的是().
A.$a - 1$
B.$(a - 1)(a - 2)$
C.$(a - 1)^{2}$
D.$(a + 1)(a - 1)$
A.$a - 1$
B.$(a - 1)(a - 2)$
C.$(a - 1)^{2}$
D.$(a + 1)(a - 1)$
答案
B
解析
原式$(a - 1)^{2} - a + 1$
$= (a - 1)^{2} - (a - 1)$
提取公因式$(a - 1)$，得：
$= (a - 1)[(a - 1) - 1]$
$= (a - 1)(a - 2)$
$= (a - 1)^{2} - (a - 1)$
提取公因式$(a - 1)$，得：
$= (a - 1)[(a - 1) - 1]$
$= (a - 1)(a - 2)$
9. 如果 $a - b = 3,ab = 7$,那么 $a^{2}b - ab^{2}$ 的值是().
A.$-21$
B.$-10$
C.$21$
D.$10$
A.$-21$
B.$-10$
C.$21$
D.$10$
答案
C
解析
首先对$a^{2}b - ab^{2}$提取公因式$ab$，可得$a^{2}b - ab^{2}=ab(a - b)$。
已知$a - b = 3$，$ab = 7$，将其代入$ab(a - b)$可得：$7×3 = 21$。
已知$a - b = 3$，$ab = 7$，将其代入$ab(a - b)$可得：$7×3 = 21$。
10. 分解因式:
(1)$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z-12xy^{2}z$;
(2)$5x(x - 2y)^{3}-20y(2y - x)^{3}$.
(1)$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z-12xy^{2}z$;
(2)$5x(x - 2y)^{3}-20y(2y - x)^{3}$.
答案
(1)
首先，观察多项式$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z$，可找出公因式$4xy^{2}$。
$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z=4xy^{2}(xy + 2xz-3z)$
(2)
因为$(x - 2y)^{3}=-(2y - x)^{3}$，所以$5x(x - 2y)^{3}-20y(2y - x)^{3}=5x(x - 2y)^{3}+20y(x - 2y)^{3}$。
然后，找出公因式$5(x - 2y)^{3}$。
$5x(x - 2y)^{3}+20y(x - 2y)^{3}=5(x - 2y)^{3}(x + 4y)$
首先，观察多项式$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z$，可找出公因式$4xy^{2}$。
$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z - 12xy^{2}z=4xy^{2}(xy + 2xz-3z)$
(2)
因为$(x - 2y)^{3}=-(2y - x)^{3}$，所以$5x(x - 2y)^{3}-20y(2y - x)^{3}=5x(x - 2y)^{3}+20y(x - 2y)^{3}$。
然后，找出公因式$5(x - 2y)^{3}$。
$5x(x - 2y)^{3}+20y(x - 2y)^{3}=5(x - 2y)^{3}(x + 4y)$
11. (1)先分解因式,再求值:$5x(a - 2)+4x(2 - a)$,其中 $x = 0.4,a = 102$;
(2)已知 $2x - y=\frac{1}{3},xy = 3$,求 $2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$ 的值.
(2)已知 $2x - y=\frac{1}{3},xy = 3$,求 $2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$ 的值.
答案
(1)
首先对$5x(a - 2)+4x(2 - a)$分解因式：
$5x(a - 2)+4x(2 - a)=5x(a - 2)-4x(a - 2)=(a - 2)(5x - 4x)=x(a - 2)$
当$x = 0.4,a = 102$时，原式$=0.4×(102 - 2)=0.4×100 = 40$。
(2)
对$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$提取公因式：
$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}=x^{3}y^{3}(2x - y)$
因为$2x - y=\frac{1}{3},xy = 3$，则$x^{3}y^{3}=(xy)^{3}=3^{3}=27$。
所以$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}=27×\frac{1}{3}=9$。
综上，答案依次为：(1)分解因式结果为$x(a - 2)$，值为$40$；(2)值为$9$。
首先对$5x(a - 2)+4x(2 - a)$分解因式：
$5x(a - 2)+4x(2 - a)=5x(a - 2)-4x(a - 2)=(a - 2)(5x - 4x)=x(a - 2)$
当$x = 0.4,a = 102$时，原式$=0.4×(102 - 2)=0.4×100 = 40$。
(2)
对$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$提取公因式：
$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}=x^{3}y^{3}(2x - y)$
因为$2x - y=\frac{1}{3},xy = 3$，则$x^{3}y^{3}=(xy)^{3}=3^{3}=27$。
所以$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}=27×\frac{1}{3}=9$。
综上，答案依次为：(1)分解因式结果为$x(a - 2)$，值为$40$；(2)值为$9$。
12. (推理能力)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}$
$=(1 + x)[1 + x+x(x + 1)]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x)$
$=(1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是,共用了次;
(2)若分解因式 $1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{2023}$,则结果是;
(3)依照上述方法分解因式 $1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{n}$($n$ 为正整数).
$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}$
$=(1 + x)[1 + x+x(x + 1)]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x)$
$=(1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是,共用了次;
(2)若分解因式 $1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{2023}$,则结果是;
(3)依照上述方法分解因式 $1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{n}$($n$ 为正整数).
答案
(1)
上述分解因式的方法是提公因式法，共用了$2$次。
(2)
$(1 + x)^{2024}$
(3)
$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· +x(x + 1)^{n}$
$=(1 + x)[1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· +x(x + 1)^{n - 1}]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x+x(x + 1)+··· +x(x + 1)^{n - 2})$
$···$
$=(1 + x)^{n}(1 + x)$
$=(1 + x)^{n + 1}$
上述分解因式的方法是提公因式法，共用了$2$次。
(2)
$(1 + x)^{2024}$
(3)
$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· +x(x + 1)^{n}$
$=(1 + x)[1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· +x(x + 1)^{n - 1}]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x+x(x + 1)+··· +x(x + 1)^{n - 2})$
$···$
$=(1 + x)^{n}(1 + x)$
$=(1 + x)^{n + 1}$
