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运用平方差公式分解因式
(1)语言表述:两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的积.
(2)公式:$a^{2}-b^{2}=$.
(1)语言表述:两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的积.
(2)公式:$a^{2}-b^{2}=$.
答案
(1) 和，差
(2) $(a+b)(a-b)$
(2) $(a+b)(a-b)$
解析
(1) 根据平方差公式的定义，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
(2) 公式 $a^{2} - b^{2}$ 可以分解为 $(a + b)(a - b)$。
(2) 公式 $a^{2} - b^{2}$ 可以分解为 $(a + b)(a - b)$。
【例1】下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是().
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a-b^{2}$
C.$16a^{2}-9b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2a-b^{2}$
C.$16a^{2}-9b^{2}$
D.$-a^{2}-b^{2}$
答案
C
解析
A. $a^{2} + b^{2}$：两平方项符号相同，不能运用平方差公式。
B. $2a - b^{2}$：$2a$ 不能写成一个式子的平方，不能运用平方差公式。
C. $16a^{2} - 9b^{2}$：可以写成$(4a)^{2} - (3b)^{2}$，符合平方差公式形式，能运用平方差公式分解因式，即$(4a + 3b)(4a - 3b)$。
D. $-a^{2} - b^{2}$：两平方项符号相同，不能运用平方差公式。
B. $2a - b^{2}$：$2a$ 不能写成一个式子的平方，不能运用平方差公式。
C. $16a^{2} - 9b^{2}$：可以写成$(4a)^{2} - (3b)^{2}$，符合平方差公式形式，能运用平方差公式分解因式，即$(4a + 3b)(4a - 3b)$。
D. $-a^{2} - b^{2}$：两平方项符号相同，不能运用平方差公式。
【变式1】分解因式:
(1)$9x^{2}-y^{2}$;
(2)$25-16x^{2}$.
探究点2 利用平方差公式计算
(1)$9x^{2}-y^{2}$;
(2)$25-16x^{2}$.
探究点2 利用平方差公式计算
答案
(1)$(3x + y)(3x - y)$；
(2)$(5 + 4x)(5 - 4x)$。
(2)$(5 + 4x)(5 - 4x)$。
解析
(1) 对于 $9x^{2}-y^{2}$，可以将其视为 $A^2 - B^2$ 的形式，其中 $A = 3x$，$B = y$。
根据平方差公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$，代入 $A$ 和 $B$ 的值，得到：
$9x^{2}-y^{2} = (3x+y)(3x-y)$。
(2) 对于 $25-16x^{2}$，可以将其视为 $A^2 - B^2$ 的形式，其中 $A = 5$，$B = 4x$。
同样根据平方差公式，代入 $A$ 和 $B$ 的值，得到：
$25-16x^{2} = (5+4x)(5-4x)$。
根据平方差公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$，代入 $A$ 和 $B$ 的值，得到：
$9x^{2}-y^{2} = (3x+y)(3x-y)$。
(2) 对于 $25-16x^{2}$，可以将其视为 $A^2 - B^2$ 的形式，其中 $A = 5$，$B = 4x$。
同样根据平方差公式，代入 $A$ 和 $B$ 的值，得到：
$25-16x^{2} = (5+4x)(5-4x)$。
【例2】若$a+b=4,a-b=1$,求$(a+2)^{2}-(b-2)^{2}$的值.
答案
20（这里由于不是选择题，按要求应直接写结果数值）
解析
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，对$(a + 2)^2-(b - 2)^2$进行因式分解，可得：
$(a + 2)^2-(b - 2)^2=[(a + 2)+(b - 2)][(a + 2)-(b - 2)]=(a + b)(a - b+4)$
把$a + b = 4$，$a - b = 1$代入上式可得：
$4×(1 + 4)=4×5 = 20$
$(a + 2)^2-(b - 2)^2=[(a + 2)+(b - 2)][(a + 2)-(b - 2)]=(a + b)(a - b+4)$
把$a + b = 4$，$a - b = 1$代入上式可得：
$4×(1 + 4)=4×5 = 20$
【变式2】分解因式$(4x+y)^{2}-9y^{2}$,并求值,其中$x+y=2,y-2x=3$.
答案
$-48$
解析
$(4x+y)^{2}-9y^{2}=(4x+y)^{2}-(3y)^{2}=(4x+y+3y)(4x+y-3y)=(4x+4y)(4x-2y)=4(x+y)·2(2x-y)=8(x+y)(2x-y)$；由$y-2x=3$得$2x-y=-3$，当$x+y=2$，$2x-y=-3$时，原式$=8×2×(-3)=-48$
1. 对多项式$4x^{2}-1$进行因式分解,正确的是().
A.$4x^{2}-1=(x+1)(x-1)$
B.$4x^{2}-1=(2x+1)(2x-1)$
C.$4x^{2}-1=(4x+1)(4x-1)$
D.$4x^{2}-1=(1+2x)(1-2x)$
A.$4x^{2}-1=(x+1)(x-1)$
B.$4x^{2}-1=(2x+1)(2x-1)$
C.$4x^{2}-1=(4x+1)(4x-1)$
D.$4x^{2}-1=(1+2x)(1-2x)$
答案
B
解析
原式 $4x^{2} - 1$ 可以看作是 $(2x)^{2} - 1^{2}$，根据平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，代入$a = 2x, b = 1$，可得：
$4x^{2} - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$，
对比选项，发现这与选项B相匹配。
$4x^{2} - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$，
对比选项，发现这与选项B相匹配。
2. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是().
A.$4x^{2}+y^{2}$
B.$-4x^{2}-y^{2}$
C.$-4x^{2}+y^{2}$
D.$-4x+y^{2}$
A.$4x^{2}+y^{2}$
B.$-4x^{2}-y^{2}$
C.$-4x^{2}+y^{2}$
D.$-4x+y^{2}$
答案
C
解析
平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其形式为一项平方减去另一项平方。
选项A中$4x^{2}+y^{2}$是两平方项相加，不能用平方差公式分解因式；
选项B中$-4x^{2}-y^{2}=-(4x^{2}+y^{2})$，也是两平方项相加的形式，不能用平方差公式分解因式；
选项C中$-4x^{2}+y^{2}=y^{2}-4x^{2}=(y + 2x)(y - 2x)$，符合平方差公式的形式，可以用平方差公式分解因式；
选项D中$-4x+y^{2}$，$-4x$不是平方项，不能用平方差公式分解因式。
选项A中$4x^{2}+y^{2}$是两平方项相加，不能用平方差公式分解因式；
选项B中$-4x^{2}-y^{2}=-(4x^{2}+y^{2})$，也是两平方项相加的形式，不能用平方差公式分解因式；
选项C中$-4x^{2}+y^{2}=y^{2}-4x^{2}=(y + 2x)(y - 2x)$，符合平方差公式的形式，可以用平方差公式分解因式；
选项D中$-4x+y^{2}$，$-4x$不是平方项，不能用平方差公式分解因式。
3. 分解因式:$16m^{2}-9n^{2}=$.
答案
$(4m + 3n)(4m - 3n)$
解析
原式 $16m^{2} - 9n^{2}$ 可以看作是 $(4m)^{2} - (3n)^{2}$，根据平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，代入$a=4m,b=3n$可得：
$16m^{2} - 9n^{2} = (4m + 3n)(4m - 3n)$
$16m^{2} - 9n^{2} = (4m + 3n)(4m - 3n)$
