登录
【例1】单项式 $6a^{3}b$ 与 $9a^{2}b^{3}$ 的公因式是().
A.$a^{2}b$
B.$3a^{3}b^{3}$
C.$3a^{2}b$
D.$18a^{3}b^{3}$
A.$a^{2}b$
B.$3a^{3}b^{3}$
C.$3a^{2}b$
D.$18a^{3}b^{3}$
答案
C
解析
要找到单项式 $6a^{3}b$ 和 $9a^{2}b^{3}$ 的公因式，首先确定系数的最大公约数，$6$ 和 $9$ 的最大公约数是 $3$；
对于字母部分，$a$ 的指数取较小的 $a^{2}$，$b$ 的指数取较小的 $b$，因此公因式为 $3a^{2}b$。
对于字母部分，$a$ 的指数取较小的 $a^{2}$，$b$ 的指数取较小的 $b$，因此公因式为 $3a^{2}b$。
【变式1】多项式 $9a^{2}x^{2}-18a^{4}x^{3}$ 各项的公因式是().
A.$9ax$
B.$9a^{2}x^{2}$
C.$a^{2}x^{2}$
D.$9a^{4}x^{3}$
A.$9ax$
B.$9a^{2}x^{2}$
C.$a^{2}x^{2}$
D.$9a^{4}x^{3}$
答案
B
解析
首先，观察多项式的两项 $9a^{2}x^{2}$ 和 $-18a^{4}x^{3}$。
找出系数的最大公约数，这里是 9。
对于字母部分，找出各字母的最小指数，对于 $a$ 是 $a^{2}$，对于 $x$ 是 $x^{2}$。
综合以上信息，公因式为 $9a^{2}x^{2}$。
找出系数的最大公约数，这里是 9。
对于字母部分，找出各字母的最小指数，对于 $a$ 是 $a^{2}$，对于 $x$ 是 $x^{2}$。
综合以上信息，公因式为 $9a^{2}x^{2}$。
【例2】分解因式:(1)$3x^{2}-6x + 12xy$;
(2)$(x - 1)^{2}+3(x - 1)$.
(2)$(x - 1)^{2}+3(x - 1)$.
答案
(1) $3x^{2}-6x + 12xy$
$=3x · x - 3x · 2 + 3x · 4y$
$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) $(x - 1)^{2}+3(x - 1)$
$=(x - 1)(x - 1) + 3(x - 1)$
$=(x - 1)(x - 1 + 3)$
$=(x - 1)(x + 2)$
$=3x · x - 3x · 2 + 3x · 4y$
$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) $(x - 1)^{2}+3(x - 1)$
$=(x - 1)(x - 1) + 3(x - 1)$
$=(x - 1)(x - 1 + 3)$
$=(x - 1)(x + 2)$
【变式2】分解因式:(1)$6a^{2}m-3am$;
(2)$m(a - 2)+n(2 - a)$.
(3)$(x - y)^{3}+4x(x - y)^{2}$.
(2)$m(a - 2)+n(2 - a)$.
(3)$(x - y)^{3}+4x(x - y)^{2}$.
答案
(1)
解：原式$ = 3am(2a - 1)$；
(2)
解：原式$ = m(a - 2) - n(a - 2)=(a - 2)(m - n)$；
(3)
解：原式$ = (x - y)^{2}(x - y + 4x)=(x - y)^{2}(5x - y)$。
解：原式$ = 3am(2a - 1)$；
(2)
解：原式$ = m(a - 2) - n(a - 2)=(a - 2)(m - n)$；
(3)
解：原式$ = (x - y)^{2}(x - y + 4x)=(x - y)^{2}(5x - y)$。
1. 把多项式 $6ab^{2}-3ab$ 分解因式时,公因式是().
A.$3ab$
B.$ab$
C.$3ab^{2}$
D.$6ab$
A.$3ab$
B.$ab$
C.$3ab^{2}$
D.$6ab$
答案
A
解析
确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取相同字母的最低次幂。多项式$6ab^{2}-3ab$中，系数6和3的最大公约数是3；都含有的字母是a和b；a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，所以公因式是$3ab$。
2. 把多项式 $m(a - 2)+(a - 2)$ 分解因式,结果等于().
A.$m(a - 2)$
B.$(a - 2)(m + 1)$
C.$m(a + 2)$
D.$(m - 1)(a - 2)$
A.$m(a - 2)$
B.$(a - 2)(m + 1)$
C.$m(a + 2)$
D.$(m - 1)(a - 2)$
答案
B
解析
原式为 $m(a - 2) + (a - 2)$，
提取公因式 $(a - 2)$，得 $(a - 2)(m + 1)$．
3. 若实数 $a,b$ 满足 $a + b = 5,a^{2}b+ab^{2}=-15$,则 $ab$ 的值是.
答案
-3
解析
因为$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，已知$a + b = 5$，$a^{2}b + ab^{2}=-15$，所以$ab×5=-15$，则$ab=-3$。
4. 分解因式:
(1)$6ab^{3}-2a^{2}b^{2}+4a^{3}b$;
(2)$(x - 2)^{2}-x + 2$.
(1)$6ab^{3}-2a^{2}b^{2}+4a^{3}b$;
(2)$(x - 2)^{2}-x + 2$.
答案
(1)
首先，观察多项式 $6ab^{3} - 2a^{2}b^{2} + 4a^{3}b$，发现每一项都含有公因式 $2ab$。
提取公因式 $2ab$，得到：
$6ab^{3} - 2a^{2}b^{2} + 4a^{3}b = 2ab(3b^{2} - ab + 2a^{2})$
(2)
首先，对多项式 $(x - 2)^{2} - x + 2$ 进行变形，将 $-x + 2$ 写作 $- (x - 2)$。
这样，多项式变为 $(x - 2)^{2} - (x - 2)$。
然后，提取公因式 $x - 2$，得到：
$(x - 2)^{2} - (x - 2) = (x - 2)(x - 2 - 1) = (x - 2)(x - 3)$
首先，观察多项式 $6ab^{3} - 2a^{2}b^{2} + 4a^{3}b$，发现每一项都含有公因式 $2ab$。
提取公因式 $2ab$，得到：
$6ab^{3} - 2a^{2}b^{2} + 4a^{3}b = 2ab(3b^{2} - ab + 2a^{2})$
(2)
首先，对多项式 $(x - 2)^{2} - x + 2$ 进行变形，将 $-x + 2$ 写作 $- (x - 2)$。
这样，多项式变为 $(x - 2)^{2} - (x - 2)$。
然后，提取公因式 $x - 2$，得到：
$(x - 2)^{2} - (x - 2) = (x - 2)(x - 2 - 1) = (x - 2)(x - 3)$
1. 代数式 $-6xyz+3xy^{2}-9x^{2}y$ 中各项的公因式是().
A.$-3x$
B.$3xz$
C.$-18x^{2}y^{2}z$
D.$-3xy$
A.$-3x$
B.$3xz$
C.$-18x^{2}y^{2}z$
D.$-3xy$
答案
D
解析
分别分析代数式$-6xyz + 3xy^{2}-9x^{2}y$各项的系数和字母部分。
系数$-6$、$3$、$-9$的最大公因数是$3$，且首项系数为负，所以公因式的系数为$-3$。
各项都含有字母$x$和$y$，$x$的最低次幂是$1$，$y$的最低次幂是$1$，所以公因式的字母部分为$xy$。
因此，该代数式各项的公因式是$-3xy$。
系数$-6$、$3$、$-9$的最大公因数是$3$，且首项系数为负，所以公因式的系数为$-3$。
各项都含有字母$x$和$y$，$x$的最低次幂是$1$，$y$的最低次幂是$1$，所以公因式的字母部分为$xy$。
因此，该代数式各项的公因式是$-3xy$。
2. 多项式 $3(x - 4)+x(x - 4)$ 的公因式是().
A.$x + 3$
B.$x - 3$
C.$(x + 3)(x - 3)$
D.$x - 4$
A.$x + 3$
B.$x - 3$
C.$(x + 3)(x - 3)$
D.$x - 4$
答案
D
解析
多项式$3(x - 4)+x(x - 4)$中，两项分别为$3(x - 4)$和$x(x - 4)$，它们都含有因式$(x - 4)$，所以公因式是$(x - 4)$。
3. (1)多项式 $2x^{2}-4x$ 中各项的公因式是;
(2)$2x^{3}y^{2}$ 与 $6x^{4}y$ 的公因式是;
(3)$18ab^{2}(a - b)^{2}$ 与 $12b(a - b)$ 的公因式是.
(2)$2x^{3}y^{2}$ 与 $6x^{4}y$ 的公因式是;
(3)$18ab^{2}(a - b)^{2}$ 与 $12b(a - b)$ 的公因式是.
答案
(1)$2x$；(2)$2x^{3}y$；(3)$6b(a - b)$
解析
(1)对于多项式$2x^{2} - 4x$，首先看系数，$2$和$4$的最大公约数是$2$；对于字母部分，$x^{2}$和$x$，都含有$x$，所以公因式是$2x$。
(2)对于$2x^{3}y^{2}$与$6x^{4}y$，系数$2$和$6$的最大公约数是$2$；对于$x$的次数，$x^{3}$和$x^{4}$取次数较低的$x^{3}$；对于$y$的次数，$y^{2}$和$y$取次数较低的$y$，所以公因式是$2x^{3}y$。
(3)对于$18ab^{2}(a - b)^{2}$与$12b(a - b)$，系数$18$和$12$的最大公约数是$6$；都含有字母$b$，次数最低的是$b$；都含有$(a - b)$，次数最低的是$(a - b)$，所以公因式是$6b(a - b)$。
(2)对于$2x^{3}y^{2}$与$6x^{4}y$，系数$2$和$6$的最大公约数是$2$；对于$x$的次数，$x^{3}$和$x^{4}$取次数较低的$x^{3}$；对于$y$的次数，$y^{2}$和$y$取次数较低的$y$，所以公因式是$2x^{3}y$。
(3)对于$18ab^{2}(a - b)^{2}$与$12b(a - b)$，系数$18$和$12$的最大公约数是$6$；都含有字母$b$，次数最低的是$b$；都含有$(a - b)$，次数最低的是$(a - b)$，所以公因式是$6b(a - b)$。
