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1. (湖北宜昌中考)如图24.1.4-13，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是(
A.AB=AD
B.BC=CD
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$
D.∠BCA=∠DCA
B
)A.AB=AD
B.BC=CD
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$
D.∠BCA=∠DCA
答案
1.B
解析
证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAC与∠DAC分别是$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∵在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴BC=CD.
结论：B
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAC与∠DAC分别是$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∵在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴BC=CD.
结论：B
2. 如图24.1.4-14，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是(
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
C
)A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
答案
2.C
解析
解：连接 $ OB $。
因为 $ \angle ACB = 25° $，所以 $ \angle AOB = 2\angle ACB = 50° $。
因为 $ OA = OB $，所以 $ \triangle AOB $ 是等腰三角形，$ \angle OAB = \angle OBA $。
所以 $ \angle BAO = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65° $。
答案：C
因为 $ \angle ACB = 25° $，所以 $ \angle AOB = 2\angle ACB = 50° $。
因为 $ OA = OB $，所以 $ \triangle AOB $ 是等腰三角形，$ \angle OAB = \angle OBA $。
所以 $ \angle BAO = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65° $。
答案：C
3. 如图24.1.4-15，∠AOB=100°，若点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为(
A.50°
B.80°或50°
C.130°
D.50°或130°
D
)A.50°
B.80°或50°
C.130°
D.50°或130°
答案
3.D
解析
解：当点C在优弧AB上时，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
当点C在劣弧AB上时，∠ACB=180°-50°=130°。
∠ACB的度数为50°或130°。
D
当点C在劣弧AB上时，∠ACB=180°-50°=130°。
∠ACB的度数为50°或130°。
D
4. (北京中考)如图24.1.4-16，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.若∠CAB=40°，则∠CAD=
25°
.答案
4.25°
解析
证明：连接 $OC$，$OD$。
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\angle CAB = 40°$，
∴ $\angle COB = 2\angle CAB = 80°$（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵ 四边形 $ACBD$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 为直径，
∴ $\angle AOB = 180°$，
∴ $\angle AOC = 180° - \angle COB = 100°$。
∵ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $\angle AOD = \angle COD$（等弧所对圆心角相等）。
∵ $\angle AOD + \angle COD = \angle AOC = 100°$，
∴ $\angle AOD = \angle COD = 50°$。
∴ $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle COD = 25°$（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
$25°$
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\angle CAB = 40°$，
∴ $\angle COB = 2\angle CAB = 80°$（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵ 四边形 $ACBD$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 为直径，
∴ $\angle AOB = 180°$，
∴ $\angle AOC = 180° - \angle COB = 100°$。
∵ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $\angle AOD = \angle COD$（等弧所对圆心角相等）。
∵ $\angle AOD + \angle COD = \angle AOC = 100°$，
∴ $\angle AOD = \angle COD = 50°$。
∴ $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle COD = 25°$（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
$25°$
5. 如图24.1.4-17，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，BD=6，则DC的长度为
3
.答案
5.3
6. 如图24.1.4-18，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1+∠2=
90°
.答案
6.90°
解析
证明：连接AE。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°。
∵∠1=∠AEB（同弧所对的圆周角相等），∠2=∠EAB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠1+∠2=∠AEB+∠EAB=90°。
90°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°。
∵∠1=∠AEB（同弧所对的圆周角相等），∠2=∠EAB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠1+∠2=∠AEB+∠EAB=90°。
90°
7. 如图24.1.4-19，已知AB=AC，∠APC=60°.
(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 若BC=4 cm，求⊙O的半径.
(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 若BC=4 cm，求⊙O的半径.
答案
7.
(1)证明:因为∠APC=60°,所以∠B=∠APC=60°.因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形.
(2)解:⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm.
(1)证明:因为∠APC=60°,所以∠B=∠APC=60°.因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形.
(2)解:⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm.
8. (山东潍坊中考)如图24.1.4-20，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为(
A.50°
B.60°
C.80°
D.85°
C
)A.50°
B.60°
C.80°
D.85°
答案
8.C
解析
证明：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠GBC=∠ADC=50°（圆内接四边形的外角等于内对角）。
∵AO⊥CD，
∴AE平分CD（垂径定理），即CE=DE。
∴AC=AD（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），
∴∠ACD=∠ADC=50°。
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=80°。
∵∠DBC=∠CAD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DBC=80°。
答案：C
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠GBC=∠ADC=50°（圆内接四边形的外角等于内对角）。
∵AO⊥CD，
∴AE平分CD（垂径定理），即CE=DE。
∴AC=AD（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），
∴∠ACD=∠ADC=50°。
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=80°。
∵∠DBC=∠CAD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DBC=80°。
答案：C
