9. 如图24.1.4-21，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1) 求证：点E是OB的中点；
(2) 若AB=8，求CD的长.

9.
(1)证明:连接AC .因为直径AB垂直于弦CD于点E,所以$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{AD}$,所以AC=AD.因为过圆心O的直线CF⊥AD,所以AF=DF,即CF是线段AD的垂直平分线,所以AC=CD,所以AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形,所以∠FCD=30°.因此,在Rt△COE中,有OE=$\frac{1}{2}$OC,所以OE=$\frac{1}{2}$OB,所以点E是OB的中点.
(2)解:因为AB=8,所以OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=4.由
(1),得OE=$\frac{1}{2}$OB,所以OE=2.在Rt△OCE中，由勾股定理可得,CE=$\sqrt{OC^2 - OE^2}$=$\sqrt{16 - 4}$=$2\sqrt{3}$,所以CD=2CE=$4\sqrt{3}$.

10. 如图24.1.4-22，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，AB的延长线和DC的延长线交于⊙O外一点E.
求证：BC=EC.

10.证明:连接AC .因为C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,所以∠EAC=∠DAC.因为AD是⊙O的直径,所以∠ACD=90°.所以∠ACE=90°.所以∠DAC+∠D=∠EAC+∠E=90°.所以∠E=∠D.因为四边形ABCD内接于⊙O,所以∠EBC=∠D.所以∠EBC=∠E.所以BC=EC.

证明：连接AC。
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴∠EAC=∠DAC。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=180°-∠ACD=90°。
∵∠DAC+∠D=90°，∠EAC+∠E=90°，
∴∠E=∠D。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠D，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC。

11. 如图24.1.4-23，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E.
(1) 若∠D=70°，求∠CAD的度数；
(2) 若AC=8，DE=2，求AB的长.

11.解:
(1)如答图24.1.4−1,分别连接BD,OC.因为AB是半圆O的直径,所以∠ADB=90°,AC⊥BC.因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA=70°,所以∠1=20°.因为OD//BC,所以OD⊥AC,所以$\overset{\frown}{CD}$=$\overset{\frown}{AD}$,所以∠CAD=∠1=20°.
(2)因为OD⊥AC,所以CE=$\frac{1}{2}$AC=4.设OC=x,则OE=x - 2.因为在Rt△OCE中,OC²=OE²+CE²,所以x²=(x - 2)²+4²,解得x=5,所以AB=2OC=10.

12. 如图24.1.4-24，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于点D，点P是$\overset{\frown}{AC}$上一动点，连接PB分别交AD，AC于点E，F.
(1) 当$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{AB}$时，求证：AE=EB.
(2) 当点P在什么位置时，AE=EF？证明你的结论.

12.
(1)证明:如答图24.1.4−2,延长AD,交⊙O于点M,连接AB,BM.因为BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,所以$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BM}$.所以∠BAM=∠BMA.又因为$\overset{\frown}{PA}$=$\overset{\frown}{AB}$,所以∠ABP=∠BMA.所以∠BAM=∠ABP.所以AE=EB.
(2)解:当$\overset{\frown}{PA}$=$\overset{\frown}{AB}$时,AE=EF.证明如下:如答图24.1.4−2,由
(1),得∠BAM=∠ABP.因为BC为⊙O的直径,所以∠BAC=90°.所以∠BAM+∠EAF=∠ABP+∠AFB=90°.所以∠EAF=∠AFB.所以AE=EF.