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2. 如图24.1.4-5，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数.
答案
2.解:因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°.因为∠ACD=25°,所以∠B=∠ACD=25°,所以∠BAD=90°−25°=65°.
【例2】如图24.1.4-6，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，过点A的直线交⊙O₁于点C，交⊙O₂于点D，过点B的直线交⊙O₁于点E，交⊙O₂于点F，且CD//EF.
求证：CE=DF.
证明：
求证：CE=DF.
证明：
答案
证明:连接AB .因为∠CAB+∠E=180°,∠CAB+∠BAD=180°,所以∠E=∠BAD.又因为∠BAD+∠F=180°,所以∠E+∠F=180°.所以CE//DF.又因为CD//EF，所以四边形CDFE是平行四边形.所以CE=DF.
解析
证明：连接AB。
∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠CAB + ∠E = 180°。
∵∠CAB + ∠BAD = 180°，
∴∠E = ∠BAD。
∵四边形ABFD是⊙O₂的内接四边形，
∴∠BAD + ∠F = 180°，
∴∠E + ∠F = 180°，
∴CE//DF。
∵CD//EF，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CE = DF。
∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠CAB + ∠E = 180°。
∵∠CAB + ∠BAD = 180°，
∴∠E = ∠BAD。
∵四边形ABFD是⊙O₂的内接四边形，
∴∠BAD + ∠F = 180°，
∴∠E + ∠F = 180°，
∴CE//DF。
∵CD//EF，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CE = DF。
3. 如图24.1.4-7，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点.若∠DAB=40°，求∠ABC，∠BCD，∠ADC的度数.
答案
3.解:连接BD 因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB=90°.因为∠DAB=40°,所以∠ABD=90°−∠DAB =50°,∠BCD=180°−∠DAB=140°.因为点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以CD=CB，所以∠CBD=∠CDB=20°,所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°,所以∠ADC=180°−∠ABC=110°.
解析
解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=40°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠DAB=140°，
∵点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠BCD=140°，
∴∠CBD=∠CDB=$\frac{180°-140°}{2}$=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°+20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。
∠ABC=70°，∠BCD=140°，∠ADC=110°。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=40°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠DAB=140°，
∵点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠BCD=140°，
∴∠CBD=∠CDB=$\frac{180°-140°}{2}$=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°+20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。
∠ABC=70°，∠BCD=140°，∠ADC=110°。
1. (甘肃兰州中考)如图24.1.4-8，在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=(
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
B
)A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
答案
1.B
解析
解：
∵∠CDB=25°，
∴∠COB=2∠CDB=50°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOB=∠COB=50°。
答案：B
∵∠CDB=25°，
∴∠COB=2∠CDB=50°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOB=∠COB=50°。
答案：B
2. (福建中考)如图24.1.4-9，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(
A.∠ADC
B.∠ABD
C.∠BAC
D.∠BAD
D
)A.∠ADC
B.∠ABD
C.∠BAC
D.∠BAD
答案
2.D
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAD+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ACD=∠ABD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAD+∠ACD=90°，
即∠ACD与∠BAD互余。
结论：D
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAD+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ACD=∠ABD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAD+∠ACD=90°，
即∠ACD与∠BAD互余。
结论：D
3. (山东聊城中考)如图24.1.4-10所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是$\overset{\frown}{CD}$上一点，且$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为(
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
B
)A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
答案
3.B
解析
证明：
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$\angle ADC + \angle ABC = 180°$。
∵$\angle ABC = 105°$，
∴$\angle ADC = 180° - 105° = 75°$。
∵$\angle BAC = 25°$，且$\angle BAC$与$\angle BCD$所对弧均为$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle BCD = \angle BAC = 25°$。
∵$\overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle DCF = \angle BAC = 25°$（等弧所对圆周角相等）。
在$\triangle CDE$中，$\angle E = \angle ADC - \angle DCF = 75° - 25° = 50°$。
$\boxed{B}$
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$\angle ADC + \angle ABC = 180°$。
∵$\angle ABC = 105°$，
∴$\angle ADC = 180° - 105° = 75°$。
∵$\angle BAC = 25°$，且$\angle BAC$与$\angle BCD$所对弧均为$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle BCD = \angle BAC = 25°$。
∵$\overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle DCF = \angle BAC = 25°$（等弧所对圆周角相等）。
在$\triangle CDE$中，$\angle E = \angle ADC - \angle DCF = 75° - 25° = 50°$。
$\boxed{B}$
4. (浙江绍兴中考)如图24.1.4-11，一块含45°角的直角三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为
90°
.答案
4.90°
解析
解：在含$45°$角的直角三角尺中，$\angle BAC = 45°$。
因为点$A$、$D$、$E$在$\odot O$上，$\angle BAC$是圆周角，$\angle DOE$是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DE}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得$\angle DOE = 2\angle BAC$。
所以$\angle DOE = 2×45° = 90°$。
$90°$
因为点$A$、$D$、$E$在$\odot O$上，$\angle BAC$是圆周角，$\angle DOE$是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DE}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得$\angle DOE = 2\angle BAC$。
所以$\angle DOE = 2×45° = 90°$。
$90°$
5. 如图24.1.4-12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为
130°
.答案
5.130°
解析
解：
∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=50°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.
130°
∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=50°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.
130°
