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2. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮圈内。已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图22.3 - 13(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(
A.此抛物线对应的函数解析式是 $ y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5 $
B.篮圈中心的坐标是$(4, 3.05)$
C.此抛物线的顶点坐标是$(3.5, 0)$
D.篮球出手时离地面的高度是 2 m
A
)A.此抛物线对应的函数解析式是 $ y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5 $
B.篮圈中心的坐标是$(4, 3.05)$
C.此抛物线的顶点坐标是$(3.5, 0)$
D.篮球出手时离地面的高度是 2 m
答案
2.A
解析
解：由题意知抛物线顶点坐标为$(0, 3.5)$，设抛物线解析式为$y = ax^2 + 3.5$。
篮圈中心横坐标为$4 - 2.5 = 1.5\,m$，即点$(1.5, 3.05)$在抛物线上，代入得：
$3.05 = a(1.5)^2 + 3.5$
$3.05 = 2.25a + 3.5$
$2.25a = -0.45$
$a = -\frac{0.45}{2.25} = -\frac{1}{5}$
故抛物线解析式为$y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5$，A正确。
B. 篮圈中心坐标为$(1.5, 3.05)$，B错误。
C. 抛物线顶点坐标为$(0, 3.5)$，C错误。
D. 出手时$x = -2.5$，代入解析式：
$y = -\frac{1}{5}(-2.5)^2 + 3.5 = -\frac{1}{5} × 6.25 + 3.5 = -1.25 + 3.5 = 2.25\,m$
D错误。
结论：A
篮圈中心横坐标为$4 - 2.5 = 1.5\,m$，即点$(1.5, 3.05)$在抛物线上，代入得：
$3.05 = a(1.5)^2 + 3.5$
$3.05 = 2.25a + 3.5$
$2.25a = -0.45$
$a = -\frac{0.45}{2.25} = -\frac{1}{5}$
故抛物线解析式为$y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5$，A正确。
B. 篮圈中心坐标为$(1.5, 3.05)$，B错误。
C. 抛物线顶点坐标为$(0, 3.5)$，C错误。
D. 出手时$x = -2.5$，代入解析式：
$y = -\frac{1}{5}(-2.5)^2 + 3.5 = -\frac{1}{5} × 6.25 + 3.5 = -1.25 + 3.5 = 2.25\,m$
D错误。
结论：A
1. 一个门洞为抛物线形，以门洞底部所在直线为 $ x $ 轴建立平面直角坐标系，抛物线所对应的函数解析式为 $ y = -2x^2 + 3 $，则 2 m 高处门洞宽为(
A.2 m
B.1 m
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $ m
D.$ \sqrt{2} $ m
D
)A.2 m
B.1 m
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $ m
D.$ \sqrt{2} $ m
答案
1.D
解析
当$y = 2$时，$-2x^2 + 3 = 2$，
$-2x^2 = -1$，
$x^2 = \frac{1}{2}$，
解得$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
门洞宽为$\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}$ m。
D
$-2x^2 = -1$，
$x^2 = \frac{1}{2}$，
解得$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
门洞宽为$\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}$ m。
D
2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22.3 - 14，以出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 $ y = -x^2 + 4x $(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
A
)A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
答案
2.A
解析
解：对于抛物线$y = -x^2 + 4x$，其中$a=-1$，$b=4$。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)} = 2$时，$y$取得最大值。
将$x=2$代入抛物线方程，得$y=-(2)^2 + 4×2=-4 + 8=4$。
故水喷出的最大高度是$4$m，答案为A。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)} = 2$时，$y$取得最大值。
将$x=2$代入抛物线方程，得$y=-(2)^2 + 4×2=-4 + 8=4$。
故水喷出的最大高度是$4$m，答案为A。
3. 有一座抛物线形拱桥，其最大高度为 9 m，现把它的示意图放在如图22.3 - 15所示的平面直角坐标系中，则此抛物线对应的函数解析式为
y=-\frac{1}{25}(x-15)²+9
，其中自变量 $ x $ 的取值范围是0≤x≤30
。答案
$3.y=-\frac{1}{25}(x-15)²+9 0≤x≤30$
解析
解：设抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$。
由图可知，抛物线的顶点坐标为$(15,9)$，所以$h=15$，$k=9$，则解析式为$y=a(x-15)^2+9$。
因为抛物线过点$(0,0)$，将其代入解析式可得：$0=a(0-15)^2+9$，即$225a + 9 = 0$，解得$a=-\frac{1}{25}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-15)^2+9$。
由图可知，自变量$x$的取值范围是$0\leq x\leq30$。
$y=-\frac{1}{25}(x-15)^2+9$；$0\leq x\leq30$
由图可知，抛物线的顶点坐标为$(15,9)$，所以$h=15$，$k=9$，则解析式为$y=a(x-15)^2+9$。
因为抛物线过点$(0,0)$，将其代入解析式可得：$0=a(0-15)^2+9$，即$225a + 9 = 0$，解得$a=-\frac{1}{25}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-15)^2+9$。
由图可知，自变量$x$的取值范围是$0\leq x\leq30$。
$y=-\frac{1}{25}(x-15)^2+9$；$0\leq x\leq30$
4. 如图22.3 - 16，一名运动员推铅球，铅球行进高度 $ y $(单位：m)与水平距离 $ x $(单位：m)之间满足函数解析式 $ y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} $，则这名运动员把铅球推出了
10
m。答案
4.10
解析
解：铅球推出的距离即铅球落地时的水平距离，此时$y = 0$。
令$y=0$，则方程为$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$。
方程两边同乘$12$去分母得：$-x^2 + 8x + 20 = 0$，
整理得$x^2 - 8x - 20 = 0$。
因式分解得$(x - 10)(x + 2)=0$，
解得$x_1 = 10$，$x_2=-2$（水平距离不能为负，舍去）。
故铅球推出的距离为$10$m。
10
令$y=0$，则方程为$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$。
方程两边同乘$12$去分母得：$-x^2 + 8x + 20 = 0$，
整理得$x^2 - 8x - 20 = 0$。
因式分解得$(x - 10)(x + 2)=0$，
解得$x_1 = 10$，$x_2=-2$（水平距离不能为负，舍去）。
故铅球推出的距离为$10$m。
10
