【例1】一个抛物线形拱桥的示意图如图22.3 - 10所示，桥的跨度 $ AB $ 为 100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为 10 m（不考虑立柱的粗细），其中距 $ A $ 点 10 m 处的立柱 $ FE $ 的高度为 3.6 m。
(1) 求正中间的立柱 $ OC $ 的高度。
(2) 是否存在一根立柱，其高度恰好是 $ OC $ 的一半？请说明理由。
思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？
思考2：如果以直线 $ AB $ 为 $ x $ 轴，以点 $ A $ 为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？
解：

(1)正中间的立柱OC的高度是10m。
(2)不存在。理由：设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5m。则有$5=-\frac{1}{250}x²+10，$解得$x=±25\sqrt{2}。$因为相邻立柱之间的距离为10m，且最中间的立柱OC在y轴上，所以每根立柱上的点的横坐标都为10的整数倍，所以$x=±25\sqrt{2}$与题意不符，所以不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半。

1. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4 m，跨度为 10 m。建立如图22.3 - 11（示意图）所示的直角坐标系。
(1) 求这条抛物线对应的函数解析式；
(2) 如图22.3 - 11，在抛物线的对称轴右边 1 m 处，桥洞距离水面的高是多少？

(1)这条抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{4}{25}(x-5)²+4。$
(2)在对称轴右边1m处，桥洞距离水面的高是3.84m。

【例2】如图22.3 - 12，某足球运动员站在点 $ O $ 处练习射门，将足球从离地面 0.5 m 高的 $ A $ 处正对球门踢出(点 $ A $ 在 $ y $ 轴上)，足球的飞行高度 $ y $(单位：m)与飞行时间 $ t $(单位：s)之间满足函数关系 $ y = at^2 + 5t + c $，已知足球飞行 0.8 s 时，离地面的高度为 3.5 m。
(1) 足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2) 若足球飞行的水平距离 $ x $(单位：m)与飞行时间 $ t $(单位：s)之间具有函数关系 $ x = 10t $，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28 m，他能否将球直接射入球门？
思考1：由题意可得到抛物线上哪两个点的坐标？
思考2：要求足球飞行多久时，足球离地面最高及最大高度的值，需求出抛物线的。
思考3：判断足球能否射入球门的依据是什么？
解：

(1)当足球飞行的时间是1.6s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m。
(2)他能将球直接射入球门。