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1. 某商店销售一种衬衫，已知获利 $ y $(单位：元)与销售单价 $ x $(单位：元)之间满足关系式 $ y = -x^2 + 24x + 2956 $，则获利最多为(
A.$ 2956 $ 元
B.$ 3100 $ 元
C.$ 3200 $ 元
D.$ 3300 $ 元
B
)A.$ 2956 $ 元
B.$ 3100 $ 元
C.$ 3200 $ 元
D.$ 3300 $ 元
答案
1.B
解析
$y=-x^2 + 24x + 2956$，
$a=-1$，$b=24$，$c=2956$，
因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-1)}=12$时，
$y_{max}=-12^2 + 24×12 + 2956=-144 + 288 + 2956=3100$，
获利最多为$3100$元。
B
$a=-1$，$b=24$，$c=2956$，
因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-1)}=12$时，
$y_{max}=-12^2 + 24×12 + 2956=-144 + 288 + 2956=3100$，
获利最多为$3100$元。
B
2. 小敏用一根长为 $ 8 $ cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(
A.$ 4 $ $ cm^2 $
B.$ 8 $ $ cm^2 $
C.$ 16 $ $ cm^2 $
D.$ 32 $ $ cm^2 $
A
)A.$ 4 $ $ cm^2 $
B.$ 8 $ $ cm^2 $
C.$ 16 $ $ cm^2 $
D.$ 32 $ $ cm^2 $
答案
2.A
解析
设矩形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
因为铁丝长为$8$ cm，所以矩形周长为$8$ cm，即$2(x + y)=8$，化简得$x + y=4$，则$y = 4 - x$。
矩形面积$S=xy=x(4 - x)=-x^{2}+4x$。
对于二次函数$S=-x^{2}+4x$，$a=-1\lt0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，$S$有最大值。
此时$y=4 - 2=2$，最大面积$S=2×2=4$ $cm^2$。
A
因为铁丝长为$8$ cm，所以矩形周长为$8$ cm，即$2(x + y)=8$，化简得$x + y=4$，则$y = 4 - x$。
矩形面积$S=xy=x(4 - x)=-x^{2}+4x$。
对于二次函数$S=-x^{2}+4x$，$a=-1\lt0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，$S$有最大值。
此时$y=4 - 2=2$，最大面积$S=2×2=4$ $cm^2$。
A
3. (辽宁沈阳中考)某商场购进一批单价为 $ 20 $ 元的日用商品，如果以单价 $ 30 $ 元销售，那么半月内可销售出 $ 400 $ 件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 $ 1 $ 元，销售量相应减少 $ 20 $ 件。当销售单价是
35
元时，才能在半月内获得最大利润。答案
3.35
解析
设销售单价为$x$元，半月内获得的利润为$y$元。
每件商品的利润为$(x - 20)$元，
销售单价每提高$1$元，销售量相应减少$20$件，当销售单价为$x$元时，比$30$元提高了$(x - 30)$元，所以销售量减少$20(x - 30)$件，
则销售量为$400 - 20(x - 30) = 400 - 20x + 600 = 1000 - 20x$件。
利润$y=(x - 20)(1000 - 20x)$，
展开得$y = 1000x - 20x^2 - 20000 + 400x = -20x^2 + 1400x - 20000$，
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a ＜ 0$时，函数在$x = -\dfrac{b}{2a}$处取得最大值，
在$y = -20x^2 + 1400x - 20000$中，$a = -20$，$b = 1400$，
所以$x = -\dfrac{1400}{2×(-20)} = \dfrac{1400}{40} = 35$，
即当销售单价是$35$元时，半月内获得最大利润。
35
每件商品的利润为$(x - 20)$元，
销售单价每提高$1$元，销售量相应减少$20$件，当销售单价为$x$元时，比$30$元提高了$(x - 30)$元，所以销售量减少$20(x - 30)$件，
则销售量为$400 - 20(x - 30) = 400 - 20x + 600 = 1000 - 20x$件。
利润$y=(x - 20)(1000 - 20x)$，
展开得$y = 1000x - 20x^2 - 20000 + 400x = -20x^2 + 1400x - 20000$，
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a ＜ 0$时，函数在$x = -\dfrac{b}{2a}$处取得最大值，
在$y = -20x^2 + 1400x - 20000$中，$a = -20$，$b = 1400$，
所以$x = -\dfrac{1400}{2×(-20)} = \dfrac{1400}{40} = 35$，
即当销售单价是$35$元时，半月内获得最大利润。
35
4. 某公司自主设计了一款成本为 $ 40 $ 元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量 $ y $（单位：件）与销售单价 $ x $（单位：元）满足一次函数解析式：$ y = -10x + 1200 $。
(1) 求出利润 $ S $（单位：元）与销售单价 $ x $（单位：元）之间的函数解析式；
(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
(1) 求出利润 $ S $（单位：元）与销售单价 $ x $（单位：元）之间的函数解析式；
(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
答案
4.解:
(1)$S=-10x^{2}+1600x-48000$.
(2)当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16000元.
(1)$S=-10x^{2}+1600x-48000$.
(2)当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16000元.
1. 某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额 $ y $(单位：元)与旅行团人数 $ x $(单位：人)满足解析式 $ y = -x^2 + 100x + 28400 $，要使所获营业额最大，则此旅行团应有(
A.$ 30 $ 人
B.$ 40 $ 人
C.$ 50 $ 人
D.$ 55 $ 人
C
)A.$ 30 $ 人
B.$ 40 $ 人
C.$ 50 $ 人
D.$ 55 $ 人
答案
1.C
解析
对于二次函数$y = -x^2 + 100x + 28400$，其中$a=-1$，$b=100$。
因为$a=-1＜0$，所以函数图象开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-1)} = 50$。
所以当旅行团人数为$50$人时，所获营业额最大。
C
因为$a=-1＜0$，所以函数图象开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-1)} = 50$。
所以当旅行团人数为$50$人时，所获营业额最大。
C
2. 如图22.3 - 3，假设篱笆(虚线部分)的长度是 $ 16 $ m，两边靠墙，则所围成矩形 $ ABCD $ 的最大面积是(
A.$ 60 $ $ m^2 $
B.$ 63 $ $ m^2 $
C.$ 64 $ $ m^2 $
D.$ 66 $ $ m^2 $
C
)A.$ 60 $ $ m^2 $
B.$ 63 $ $ m^2 $
C.$ 64 $ $ m^2 $
D.$ 66 $ $ m^2 $
答案
2.C
解析
解：设矩形 $ABCD$ 的长 $AB=x\ m$，则宽 $BC=(16-x)\ m$，面积为 $S\ m^2$。
由题意得：$S = x(16 - x) = -x^2 + 16x$。
$S = -(x^2 - 16x) = -(x - 8)^2 + 64$。
当 $x = 8$ 时，$S_{max} = 64\ m^2$。
答案：C
由题意得：$S = x(16 - x) = -x^2 + 16x$。
$S = -(x^2 - 16x) = -(x - 8)^2 + 64$。
当 $x = 8$ 时，$S_{max} = 64\ m^2$。
答案：C
3. 用长为 $ 8 $ m 的铝合金做成如图22.3 - 4所示的矩形窗框，并使窗户的透光面积最大(铝合金的宽度不计)，那么这扇窗户的最大透光面积是(
A.$ \frac{64}{25} $ $ m^2 $
B.$ \frac{4}{3} $ $ m^2 $
C.$ \frac{8}{3} $ $ m^2 $
D.$ 4 $ $ m^2 $
C
)A.$ \frac{64}{25} $ $ m^2 $
B.$ \frac{4}{3} $ $ m^2 $
C.$ \frac{8}{3} $ $ m^2 $
D.$ 4 $ $ m^2 $
答案
3.C
解析
设矩形窗户的宽为$x$ m，高为$y$ m。
由题意，窗框周长为$8$ m，且窗框有$3$条宽（上下两条横边和中间一条分隔边）和$2$条高，可得$3x + 2y=8$，则$y=\frac{8 - 3x}{2}$。
透光面积$S=xy=x\cdot\frac{8 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+4x$。
对于二次函数$S=-\frac{3}{2}x^{2}+4x$，$a=-\frac{3}{2}\lt0$，开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{4}{3}$时，$S$取最大值。
此时$y=\frac{8 - 3×\frac{4}{3}}{2}=\frac{8 - 4}{2}=2$，最大面积$S=\frac{4}{3}×2=\frac{8}{3}$ $m^{2}$。
$\frac{8}{3}$
由题意，窗框周长为$8$ m，且窗框有$3$条宽（上下两条横边和中间一条分隔边）和$2$条高，可得$3x + 2y=8$，则$y=\frac{8 - 3x}{2}$。
透光面积$S=xy=x\cdot\frac{8 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+4x$。
对于二次函数$S=-\frac{3}{2}x^{2}+4x$，$a=-\frac{3}{2}\lt0$，开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{4}{3}$时，$S$取最大值。
此时$y=\frac{8 - 3×\frac{4}{3}}{2}=\frac{8 - 4}{2}=2$，最大面积$S=\frac{4}{3}×2=\frac{8}{3}$ $m^{2}$。
$\frac{8}{3}$
4. 将进货单价为 $ 70 $ 元的某种商品按零售价 $ 100 $ 元售出时，每天能卖出 $ 20 $ 个，若这种商品零售价在一定范围内每降价 $ 1 $ 元，其日销售量就增加 $ 1 $ 个，为获得最大利润，应降价(
A.$ 5 $ 元
B.$ 10 $ 元
C.$ 15 $ 元
D.$ 20 $ 元
A
)A.$ 5 $ 元
B.$ 10 $ 元
C.$ 15 $ 元
D.$ 20 $ 元
答案
4.A
解析
设应降价$x$元，利润为$y$元。
每件商品的利润为$(100 - 70 - x)$元，日销售量为$(20 + x)$个。
则$y=(30 - x)(20 + x)$
$y=-x^{2}+10x + 600$
$y=-(x - 5)^{2}+625$
当$x = 5$时，$y$有最大值。
A
每件商品的利润为$(100 - 70 - x)$元，日销售量为$(20 + x)$个。
则$y=(30 - x)(20 + x)$
$y=-x^{2}+10x + 600$
$y=-(x - 5)^{2}+625$
当$x = 5$时，$y$有最大值。
A
5. 出售某种手工艺品，若每个获利 $ x $ 元，一天可售出 $ (8 - x) $ 个，则当 $ x = $
4
时，一天出售该种手工艺品的总利润最大。答案
5.4
解析
设总利润为$ y $元，由题意得$ y = x(8 - x) = -x^2 + 8x $。因为二次函数$ y = -x^2 + 8x $的二次项系数$-1 ＜ 0$，所以函数图象开口向下，当$ x = -\frac{8}{2×(-1)} = 4 $时，$ y $有最大值。故当$ x = 4 $时，一天出售该种手工艺品的总利润最大。
6. （山东潍坊中考）如图22.3 - 5所示，工人师傅用一块长为 $ 10 $ dm，宽为 $ 6 $ dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）。
(1) 在图中画出裁剪示意图（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕），并求长方体底面面积为 $ 12 $ $ dm^2 $ 时，裁掉的正方形边长；
(2) 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 $ 5 $ 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 $ 0.5 $ 元，底面每平方分米的费用为 $ 2 $ 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
(1) 在图中画出裁剪示意图（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕），并求长方体底面面积为 $ 12 $ $ dm^2 $ 时，裁掉的正方形边长；
(2) 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 $ 5 $ 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 $ 0.5 $ 元，底面每平方分米的费用为 $ 2 $ 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
答案
6.解:
(1)如答图22.3-1(示意图)所示. 当长方体底面面积为$12\ dm^{2}$时，裁掉的正方形的边长为2dm.
(2)当裁掉的正方形的边长为2.5dm时，总费用最低，最低为25元.
