7. 某旅社有 $ 100 $ 张床位，每床每晚收费 $ 100 $ 元时，客床可全部租出。若每床每晚收费提高 $ 20 $ 元，则租出床位减少 $ 10 $ 张，以每床每晚提高 $ 20 $ 元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高()

A.$ 40 $ 元或 $ 60 $ 元
B.$ 40 $ 元
C.$ 60 $ 元
D.$ 50 $ 元

7.C

设每床每晚提高$20x$元，获利为$y$元。
此时每床收费为$(100 + 20x)$元，租出床位为$(100 - 10x)$张。
则$y=(100 + 20x)(100 - 10x)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=100×100 + 100×(-10x) + 20x×100 + 20x×(-10x)\\&=10000 - 1000x + 2000x - 200x^2\\&=-200x^2 + 1000x + 10000\end{aligned}$
对于二次函数$y = -200x^2 + 1000x + 10000$，$a=-200\lt0$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-200)}=2.5$。
因为$x$为整数，当$x=2$时，提高$20×2 = 40$元，租出床位$100 - 10×2=80$张，获利$y=(100 + 40)×80=11200$元；
当$x=3$时，提高$20×3 = 60$元，租出床位$100 - 10×3=70$张，获利$y=(100 + 60)×70=11200$元。
投资少即租出床位少，$70\lt80$，所以$x=3$时投资少，每床每晚应提高$60$元。
C

8. (江苏扬州中考)某电商销售一款夏季时装，进价 $ 40 $ 元/件，售价 $ 110 $ 元/件，每天销售 $ 20 $ 件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用 $ a $ 元 $ (a ＞ 0) $。未来 $ 30 $ 天，这款时装将开展“每天降价 $ 1 $ 元”的夏令促销活动，即从第 $ 1 $ 天起每天的单价均比前一天降 $ 1 $ 元。通过市场调研发现，该时装单价每降 $ 1 $ 元，每天销量增加 $ 4 $ 件。在这 $ 30 $ 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 $ t $($ t $ 为正整数)的增大而增大，$ a $ 的取值范围应为。

8.$0＜a＜6$

9. 如图22.3 - 6，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3a $，两动点 $ E $，$ F $ 分别从顶点 $ B $，$ C $ 同时开始以相同速度沿 $ BC $，$ CD $ 运动，与 $ \triangle BCF $ 相应的 $ \triangle EGH $ 在运动过程中始终保持 $ \triangle EGH \cong \triangle BCF $，$ B $，$ E $，$ C $，$ G $ 在同一直线上。
(1) 若 $ BE = a $，求 $ DH $ 的长。
(2) 当点 $ E $ 在 $ BC $ 边上的什么位置时，$ \triangle DHE $ 的面积取得最小值？请求出该三角形面积的最小值。

9.解:
(1)连接FH ，$DH=\sqrt{5}a$.
(2)当E是BC的中点时，$\triangle DHE$的面积取得最小值，最小值为$\frac{27}{8}a^{2}$.

10. 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 $ 15 $ 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 $ 6 $ 元。为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 $ x $ 天生产的粽子数量为 $ y $ 只，$ y $ 与 $ x $ 满足如下解析式：
$ y = \begin{cases}50x & (0 \leq x \leq 5) \\30x + 120 & (5 ＜ x \leq 15)\end{cases} $
(1) 李明第几天生产的粽子数量为 $ 420 $ 只？
(2) 如图22.3 - 7，设第 $ x $ 天每只粽子的成本是 $ p $ 元，$ p $ 与 $ x $ 之间的关系可用图中的函数图象来刻画。若李明第 $ x $ 天创造的利润为 $ w $ 元，求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元（利润 $ = $ 出厂价 $ - $ 成本）。

10.解:
(1)李明第10天生产的粽子数量为420只.
(2)$w=\begin{cases} 95x(0\leqslant x\leqslant 5),\\ 57x+228(5＜x＜9),\\ -3x^{2}+72x+336(9\leqslant x\leqslant 15). \end{cases}$ 第12天的利润最大，最大利润是768元.