8. 如图所示,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ \angle BAC $ 的平分线,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,$ S_{\triangle ABC} = 24 $,$ DE = 4 $,$ AB = 7 $,则 $ AC $ 的长是()。

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 5 $

D

证明：过点$D$作$DF \perp AC$于点$F$。
∵$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
∴$DF = DE = 4$。
∵$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 7 × 4 = 14$，
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × AC × 4 = 2AC$，
又
∵$S_{\triangle ABC} = 24$，
∴$14 + 2AC = 24$，
解得$AC = 5$。
D

9. 如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 50^{\circ} $,$ \angle C = 70^{\circ} $,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $。
(1)求 $ \angle EDA $ 的度数；
(2)若 $ AB = 10 $,$ AC = 8 $,$ DE = 3 $,求 $ S_{\triangle ABC} $。

解：（1）因为∠B=50°，∠C=70°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°。因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。因为DE⊥AB，所以∠DEA=90°，所以∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30°-90°=60°。（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F。因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF=DE=3。又因为AB=10，AC=8，所以S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF=$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$×8×3=27。

（1）解：在$\triangle ABC$中，$\angle B=50°$，$\angle C=70°$，
$\angle BAC=180°-\angle B-\angle C=180°-50°-70°=60°$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
因为$DE\perp AB$，所以$\angle DEA=90°$，
在$\triangle AED$中，$\angle EDA=180°-\angle BAD-\angle DEA=180°-30°-90°=60°$。
（2）解：过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
所以$DF=DE=3$。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$
$=\frac{1}{2}×10×3+\frac{1}{2}×8×3=15+12=27$。

例 如图,在△ABC中,已知AB= AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC= 130°,求∠BAC的度数。
[解答] 因为∠ADC= 130°,
所以∠EDC= 50°。
又因为AB= AC,AE平分∠BAC,
所以∠AEC= 90°。
所以∠DCE= 180°-∠EDC-∠AEC= 40°。
又因为CD平分∠ACB,
所以∠ACB= 2∠DCE= 80°。
又因为AB= AC,所以∠B= ∠ACB。
所以∠BAC= 180°-2∠ACB= 180°-2×80°= 20°。

解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB（等边对等角）。
设AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，则∠CAD=1/2∠BAC，∠ACD=1/2∠ACB。
设∠BAC=2x，∠ACB=2y，则∠CAD=x，∠ACD=y，∠B=2y。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，即2x+2y+2y=180°，化简得x+2y=90°①。
在△ADC中，∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理），∠ADC=130°，∴x+y+130°=180°，即x+y=50°②。
①-②得y=40°，代入②得x=10°。
∴∠BAC=2x=20°。

解：设∠BAC的度数为$2x$，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=x。
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB。
设∠ACB的度数为$2y$，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=y。
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：∠BAC+∠B+∠ACB=180°，即$2x + 2y + 2y=180°$，化简得$x + 2y=90°$，所以$x=90° - 2y$。
在△ADC中，∠CAD + ∠ACD + ∠ADC=180°，已知∠ADC=130°，所以$x + y + 130°=180°$，即$x + y=50°$。
将$x=90° - 2y$代入$x + y=50°$，得$90° - 2y + y=50°$，解得$y=40°$。
则$x=50° - y=50° - 40°=10°$。
所以∠BAC=2x=2×10°=20°。
答：∠BAC的度数为$20°$。