5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是\triangle ABC$的高,$BC = 12$,$AC - AD = 2$,求$\triangle ABC$的面积。

48

解：
∵AB=AC，AD是△ABC的高，BC=12
∴BD=DC=6，∠ADC=90°
设AD=x，则AC=x+2
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD²+DC²=AC²
即x²+6²=(x+2)²
解得x=8
∴S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48

6. 如图,将一根$24$ $cm长的筷子置于底面直径为15$ $cm$、高为$8$ $cm$的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为$h$,求$h$的取值范围。

$7\ cm\leqslant h\leqslant 16\ cm$

解：当筷子在杯中的长度最短时，垂直于底面放置，此时长度为圆柱的高，即$8\ cm$，则$h=24 - 8=16\ cm$；
当筷子在杯中的长度最长时，斜放与底面直径和高构成直角三角形，底面直径为$15\ cm$，高为$8\ cm$，根据勾股定理，最长长度为$\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225 + 64}=\sqrt{289}=17\ cm$，则$h=24 - 17=7\ cm$。
综上，$h$的取值范围为$7\ cm\leqslant h\leqslant 16\ cm$。

7. 如图,有两棵树,一棵高$10$米,另一棵树高$4$米,两树相距$8$米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问：小鸟至少飞行多少米？

10米

设高10米的树为A，高4米的树为B，两树底部距离为8米。过B树树梢作水平线交A树于点C，则AC=10-4=6米，BC=8米。
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$米。
10米

8. 如图,折叠长方形的一边$AD$,使点$D落在BC边的点F$处,如果$AB = 8$ $cm$,$BC = 10$ $cm$,求$EC$的长。

解:由折叠的性质，得$\angle AFE=\angle ADE=90°$，$AF=AD=BC=10\ cm$，$EF=ED$。
设$EC=x\ cm$，则$ED=EF=CD - EC=(8 - x)\ cm$。
在$Rt\triangle ABF$中，
由勾股定理，得$AB^2+BF^2=AF^2$，
即$8^2+BF^2=10^2$，
所以$BF=6\ cm$。
所以$CF=BC - BF=10 - 6=4(cm)$。
在$Rt\triangle ECF$中，
由勾股定理，得$EF^2=EC^2+CF^2$，
即$(8 - x)^2=x^2+4^2$，解得$x=3$，
所以$EC=3\ cm$。

9. 如图,小红荡秋千,秋千架高$2.4$ $m$,荡到最低处时,秋千座位离地$0.4$ $m$。小红荡到最高处时,座位离地$0.8$ $m$,此时小红荡出的水平距离是多少？(荡到秋千架两边的最高点之间的距离)

解:如图为秋千侧面图，座位最低点为A，最高点为B，则$OA=OB=2.4 - 0.4=2(m)$。
过点B作OA的垂线，垂足为点C，
则$AC=0.8 - 0.4=0.4(m)$，
$OC=2 - 0.4=1.6(m)$。

由勾股定理，得
$BC^2=OB^2 - OC^2=2^2 - 1.6^2=1.44$，
所以$BC=1.2\ m$，$2BC=2×1.2=2.4(m)$，故小红荡出的水平距离是$2.4\ m$。