10. 如图,圆柱形玻璃杯高为$12$ $cm$,底面周长为$18$ $cm$,在杯内离杯底$4$ $cm的点C$处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿$4$ $cm与蜂蜜相对的点A$处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______ $cm$。

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将圆柱侧面展开，得到长方形，长为底面周长$18\ cm$，宽为圆柱高$12\ cm$。
作点$A$关于上沿的对称点$A'$，则$A'$到上沿的距离为$4\ cm$，$A'$到下沿的距离为$12\ cm+4\ cm=16\ cm$。
点$C$离杯底$4\ cm$，则展开后点$C$到下沿的距离为$4\ cm$，到上沿的距离为$12\ cm-4\ cm=8\ cm$。
在展开图中，$A'$与$C$的水平距离为底面周长的一半$9\ cm$，竖直距离为$16\ cm-4\ cm=12\ cm$。
最短距离为$\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15\ cm$。
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11. 如图,长方体的长为$3$ $cm$,宽为$1$ $cm$,高为$6$ $cm$。如果用一根细线从点$A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B$,那么所用细线最短需要多少厘米？

解:如图，将长方体展开连接$AB'$，
则$AA'=1+3+1+3=8(cm)$，$A'B=6\ cm$。
根据勾股定理，得$AB'^2=8^2+6^2=10^2$，
所以所用细线最短需要$10\ cm$。

12. 如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AC = 40$,$BC = 30$,$\angle C = 90^{\circ}$。

(1)将$\triangle ABC沿过点C$的直线向左折叠,使点$B落在边AB上的点B'$处,$CD$是折痕(如图$2$),求折痕$CD$的长；
(2)将$\triangle ABC沿过点B$的直线向下折叠,使点$C落在AB边的点C'$处,$BE$是折痕(如图$3$),求$AC'和EC'$的长；
(3)将$\triangle ABC$向右折叠,使点$A与点B$重合,$EF$是折痕(如图$4$),求$BE$的长。

(1)$CD=24$
(2)$AC'=20$，$EC'=15$
(3)$BE=31.25$