1. 下列方程中,是一元一次方程的是()
A.$ x^{2}-x = 3 $
B.$ x + 2y = 5 $
C.$ \frac{5}{x} + 3 = 6 $
D.$ \frac{x}{3} + 2x = 1 $

D

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
A选项：$x^{2} - x = 3$，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程。
B选项：$x + 2y = 5$，含有两个未知数，不是一元一次方程。
C选项：$\frac{5}{x} + 3 = 6$，分母含有未知数，不是整式方程，因此不是一元一次方程。
D选项：$\frac{x}{3} + 2x = 1$，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，两边都为整式，是一元一次方程。

2. 在方程 $ 3x - \frac{1}{2} = 1 $,$ \frac{1}{3}(x + 1) = \frac{1}{2} $,$ 6x - 5 = 2x - 3 $和 $ x + \frac{1}{2} = 2x $中,与方程 $ 2x = 1 $的解相同的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

首先解方程 $2x = 1$，得到 $x = \frac{1}{2}$。
方程 $3x - \frac{1}{2} = 1$：
$3x - \frac{1}{2} = 1$，
$3x = 1 + \frac{1}{2}$，
$3x = \frac{3}{2}$，
$x = \frac{1}{2}$，
该方程的解与 $2x = 1$ 的解相同。
方程 $\frac{1}{3}(x + 1) = \frac{1}{2}$：
$\frac{1}{3}(x + 1) = \frac{1}{2}$，
$x + 1 = \frac{3}{2}$，
$x = \frac{1}{2}$，
该方程的解与 $2x = 1$ 的解相同。
方程 $6x - 5 = 2x - 3$：
$6x - 5 = 2x - 3$，
$4x = 2$，
$x = \frac{1}{2}$，
该方程的解与 $2x = 1$ 的解相同。
方程 $x + \frac{1}{2} = 2x$：
$x + \frac{1}{2} = 2x$，
$\frac{1}{2} = x$，
$x = \frac{1}{2}$，
该方程的解与 $2x = 1$ 的解相同。
所有四个方程的解都与 $2x = 1$ 的解相同。

3. 一张试卷,只有25道选择题,做对一道题得4分,做错一道题倒扣1分,小李做了全部试题,共得70分,他做对题目的数量是()
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道

C

设小李做对了$x$道题，则做错了$(25 - x)$道题。根据题意，得$4x - 1×(25 - x) = 70$，解得$x = 19$。

4. 已知方程 $ 7x + 2 = 3x - 6 $与关于 $ x $的方程 $ x - 1 = k $的解相同,则 $ 3k^{2} - 1 $的值为()
A.18
B.20
C.26
D.-26

C

首先解方程 $7x + 2 = 3x - 6$：
$\begin{aligned}7x + 2 &= 3x - 6 \\\7x - 3x &= -6 - 2 \\\4x &= -8 \\\x &= -2.\end{aligned}$
因为方程 $x - 1 = k$ 与上述方程的解相同，所以将 $x = -2$ 代入 $x - 1 = k$：
$-2 - 1 = k \implies k = -3.$
然后计算 $3k^2 - 1$：
$3(-3)^2 - 1 = 3 × 9 - 1 = 27 - 1 = 26.$

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为()
A.24里
B.12里
C.6里
D.3里

C

设第六天走的路程为$x$里，则第五天为$2x$里，第四天为$4x$里，第三天为$8x$里，第二天为$16x$里，第一天为$32x$里。
根据题意，六天路程之和为$378$里，列方程：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 378$
$63x = 378$
$x = 6$

6. $ x $的3倍与7的差等于12,可列方程为.

3x-7=12

x的3倍即3x，与7的差为3x-7，等于12，故方程为3x-7=12

7. 已知方程 $ 3x + 8 = \frac{x}{4} - a $的解满足 $ |x - 2| = 0 $,则 $ \frac{1}{a} = $.

-$\frac{2}{27}$

由|x - 2| = 0，得x = 2。将x = 2代入方程3x + 8 = $\frac{x}{4}$ - a，得3×2 + 8 = $\frac{2}{4}$ - a，即6 + 8 = 0.5 - a，14 = 0.5 - a，解得a = 0.5 - 14 = -13.5 = -$\frac{27}{2}$。所以$\frac{1}{a}$ = -$\frac{2}{27}$。

8. 对于两个不相等的有理数 $ a $、$ b $,我们规定符号 $ \max\{a,b\} $表示 $ a $,$ b $两数中较大的数,例如 $ \max\{2,4\} = 4 $,$ \max\{ - 2,-4) = - 2 $. 按照这个规律,那么方程 $ \max\{x,5x\} = 2x + 6 $的解为.

$x = 2$或$x=-6$（按照题目要求形式，若为填空可直接写$2或 - 6$ ）

当$x＞2x（即x＜0）$时，$5x＜x$（因为$x＜0$，则$5x$比$x$更小），此时$\max\{x,5x\}=x$。
原方程可化为$x=2x+6$，
移项可得：$x-2x=6$，
即$-x=6$，
解得$x=-6$。
将$x = - 6$代入原方程进行验证，左边$\max\{-6,5×(-6)\}=\max\{-6,-30\}=-6$，右边$2×(-6)+6=-12 + 6=-6$，左边等于右边，所以$x=-6$是原方程的解。
当$5x\geq x$（即$x\geq0$）时，此时$\max\{x,5x\}=5x$。
原方程可化为$5x=2x+6$，
移项可得：$5x-2x=6$，
即$3x=6$，
解得$x = 2$。
将$x = 2$代入原方程进行验证，左边$\max\{2,5×2\}=\max\{2,10\}=10$，右边$2×2+6=4 + 6=10$，左边等于右边，所以$x = 2$是原方程的解。
综上，方程$\max\{x,5x\}=2x + 6$的解为$x = 2$或$x=-6$。

9. 移动公司推出了如下表所示的19元30G数据流量套餐,小华订购了该流量套餐,且上个月数据流量费用为124元,则他上个月使用了流量G.
|数据流量|收费|
|30G(含30G)|共19元|
|30G～60G部分(含60G)|2元/G|
|60G以上部分|3元/G|

75

30G 内费用为19元。
小华总费用为124元，超出部分费用为：$124 - 19 = 105$（元）。
30G～60G部分，每G收费2元，总费用为：$(60 - 30) × 2 = 60$（元）。
剩余费用：$105 - 60 = 45$（元）。
60G以上部分，每G收费3元，因此超出60G的流量为：$45 ÷ 3 = 15$（G）。
总流量为：$60 + 15 = 75$（G）。

10. 如图,已知线段 $ AB = 24\ cm $,$ OA = OP = 2\ cm $,$ \angle POQ = 60^{\circ} $,现点 $ P $绕着点 $ O $以 $ 30^{\circ}/s $的速度逆时针旋转一周后停止,同时点 $ Q $沿直线 $ BA $自点 $ B $向点 $ A $运动. 若点 $ P $,$ Q $两点能相遇,则点 $ Q $运动的速度为cm/s.

2或6

设点Q运动的速度为$v$ cm/s，运动时间为$t$ s。点P绕点O逆时针旋转，速度30°/s，旋转一周（360°）需12s，故$t\leq12$。
关键分析：P轨迹是以O为圆心、2cm为半径的圆，与直线BA交于A（O左2cm）和C（O右2cm）两点，Q在直线BA上，相遇点只能为A或C。
1. 相遇点为A（O左2cm）：
Q运动距离为$AB=24$cm，故$t=\frac{24}{v}$。
P需旋转至A点，初始∠POB=60°，旋转到OA（180°方向）需$180°-60°=120°$，时间$t=\frac{120°}{30°/s}=4$s。
则$v=\frac{24}{4}=6$cm/s。
2. 相遇点为C（O右2cm）：
Q运动距离为$BC=OB-OC=22-2=20$cm（OB=AB-OA=24-2=22cm），故$t=\frac{20}{v}$。
P需旋转至C点（0°方向），需旋转$360°-60°=300°$，时间$t=\frac{300°}{30°/s}=10$s。
则$v=\frac{20}{10}=2$cm/s。
综上，点Q运动速度为2cm/s或6cm/s。