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11. 解下列方程：
$ \frac{1 - 2x}{3} = \frac{3x + 1}{7} - 3 $.
$ \frac{1 - 2x}{3} = \frac{3x + 1}{7} - 3 $.
答案
$x = \frac{67}{23}$
解析
答题
去分母，方程两边同乘 21：
$21 × \frac{1 - 2x}{3} = 21 × \left( \frac{3x + 1}{7} - 3 \right)$
$7(1 - 2x) = 3(3x + 1) - 63$
去括号：
$7 - 14x = 9x + 3 - 63$
移项：
$-14x - 9x = 3 - 63 - 7$
合并同类项：
$-23x = -67$
系数化为 1：
$x = \frac{67}{23}$
最终
去分母，方程两边同乘 21：
$21 × \frac{1 - 2x}{3} = 21 × \left( \frac{3x + 1}{7} - 3 \right)$
$7(1 - 2x) = 3(3x + 1) - 63$
去括号：
$7 - 14x = 9x + 3 - 63$
移项：
$-14x - 9x = 3 - 63 - 7$
合并同类项：
$-23x = -67$
系数化为 1：
$x = \frac{67}{23}$
最终
12. 某工厂需要生产一批太空漫步器(如图),每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成. 工厂现共有45名工人,每人每天平均可生产60个支架或96套脚踏板.
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2)若将每套太空漫步器按成本价提高40%后标价,再打八五折销售,仍能获得57元的利润,则每套太空漫步器的成本价是多少元？
(1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
(2)若将每套太空漫步器按成本价提高40%后标价,再打八五折销售,仍能获得57元的利润,则每套太空漫步器的成本价是多少元？
答案
(1)设分配$x$名工人生产支架，则生产脚踏板的工人有$(45 - x)$名。
由每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成，根据支架和脚踏板数量关系可列方程：
$2×60x = 96×(45 - x)$
$120x = 4320 - 96x$
$120x + 96x = 4320$
$216x = 4320$
$x = 20$
$45 - 20 = 25$（名）
答：应分配$20$名工人生产支架，$25$名工人生产脚踏板。
(2)设每套太空漫步器的成本价是$m$元。
由题意可列方程：$(1 + 0.4)m×0.85 - m = 57$
$1.19m - m = 57$
$0.19m = 57$
$m = 300$
答：每套太空漫步器的成本价是$300$元。
由每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成，根据支架和脚踏板数量关系可列方程：
$2×60x = 96×(45 - x)$
$120x = 4320 - 96x$
$120x + 96x = 4320$
$216x = 4320$
$x = 20$
$45 - 20 = 25$（名）
答：应分配$20$名工人生产支架，$25$名工人生产脚踏板。
(2)设每套太空漫步器的成本价是$m$元。
由题意可列方程：$(1 + 0.4)m×0.85 - m = 57$
$1.19m - m = 57$
$0.19m = 57$
$m = 300$
答：每套太空漫步器的成本价是$300$元。
13. 如图,已知长方形 $ ABCD $的长 $ AB = a $米,宽 $ BC = b $米,$ a $,$ b $满足 $ |a - 7| + (b - 4)^{2} = 0 $,一动点 $ P $从点 $ A $出发以每秒1米的速度沿着 $ A→D→C→B $运动,另一动点 $ Q $从点 $ B $出发以每秒2米的速度沿 $ B→C→D→A $运动,$ P $,$ Q $同时出发,运动时间为 $ t $秒.
(1)$ a = $
(2)当 $ t = 4.5 $时,求 $ \triangle APQ $的面积；
(3)当点 $ P $,$ Q $都在 $ DC $上,且 $ P $,$ Q $距离为1时,求 $ t $的值.
(1)$ a = $
7
,$ b = $4
；(2)当 $ t = 4.5 $时,求 $ \triangle APQ $的面积；
(3)当点 $ P $,$ Q $都在 $ DC $上,且 $ P $,$ Q $距离为1时,求 $ t $的值.
(2)3；(3)$\frac{14}{3}$ 或 $\frac{16}{3}$
答案
(1)7，4；(2)3；(3)$\frac{14}{3}$ 或 $\frac{16}{3}$
解析
(1)7；4
(2)解：长方形周长为$2×(7 + 4)=22$米，$P$速度1米/秒，$Q$速度2米/秒。
当$t = 4.5$时，$P$运动路程：$1×4.5 = 4.5$米，$AD = 4$米，$4.5-4=0.5$米，故$P$在$DC$上，距$D$点0.5米，坐标为$(0.5,4)$。
$Q$运动路程：$2×4.5 = 9$米，$BC = 4$米，$CD = 7$米，$9-4=5$米，$5＜7$，故$Q$在$CD$上，距$C$点5米，距$D$点$7 - 5=2$米，坐标为$(2,4)$。
$A(0,0)$，$P(0.5,4)$，$Q(2,4)$，$PQ=2 - 0.5=1.5$米，$\triangle APQ$以$PQ$为底，高为$AD = 4$米，面积$S=\frac{1}{2}×1.5×4 = 3$平方米。
(3)解：$P$在$DC$上时，$t$范围：$AD = 4$，$t＞4$；$AD + DC=4 + 7=11$，$t＜11$，即$4＜t＜11$，$P$位置：$PD=t - 4$，$PC=7-(t - 4)=11 - t$。
$Q$在$DC$上时，$Q$运动路程：$BC = 4$，$t＞4÷2=2$；$BC + CD=4 + 7=11$，$t＜11÷2 = 5.5$，即$2＜t＜5.5$。
综上，$P$、$Q$都在$DC$上时，$4＜t＜5.5$。
$Q$位置：$QC=2t - BC=2t - 4$，$QD=CD - QC=7-(2t - 4)=11 - 2t$。
$PQ=|PD - QD|=|(t - 4)-(11 - 2t)|=|3t - 15|=1$。
$3t - 15=1$或$3t - 15=-1$，解得$t=\frac{16}{3}$或$t=\frac{14}{3}$，均在$4＜t＜5.5$内，故$t=\frac{14}{3}$或$t=\frac{16}{3}$。
14. 某人沿河游泳逆流而上,途中不慎将水壶掉落,水壶沿河水漂流而下,10min后此人发现并立即返身回游,则此人回游多少分钟可以追上水壶？
答案
设水流速度为$v_{水}$（米/分钟），人在静水中的游泳速度为$v_{人}$（米/分钟），设回游$t$分钟追上水壶。
1. 水壶掉落10分钟内的运动：
人逆流速度为$v_{人}-v_{水}$，10分钟内人逆流距离：$10(v_{人}-v_{水})$；
水壶漂流速度为$v_{水}$，10分钟内水壶漂流距离：$10v_{水}$；
此时人与水壶的距离：$10(v_{人}-v_{水}) + 10v_{水}=10v_{人}$。
2. 回游追及过程：
人顺流速度为$v_{人}+v_{水}$，$t$分钟内人顺流距离：$t(v_{人}+v_{水})$；
水壶继续漂流距离：$tv_{水}$；
追及时满足：$t(v_{人}+v_{水})=10v_{人}+tv_{水}$。
3. 解方程：
化简得：$v_{人}t + v_{水}t=10v_{人}+v_{水}t$，
消去$v_{水}t$：$v_{人}t=10v_{人}$，
因$v_{人}\neq0$，解得$t=10$。
结论：10分钟。
1. 水壶掉落10分钟内的运动：
人逆流速度为$v_{人}-v_{水}$，10分钟内人逆流距离：$10(v_{人}-v_{水})$；
水壶漂流速度为$v_{水}$，10分钟内水壶漂流距离：$10v_{水}$；
此时人与水壶的距离：$10(v_{人}-v_{水}) + 10v_{水}=10v_{人}$。
2. 回游追及过程：
人顺流速度为$v_{人}+v_{水}$，$t$分钟内人顺流距离：$t(v_{人}+v_{水})$；
水壶继续漂流距离：$tv_{水}$；
追及时满足：$t(v_{人}+v_{水})=10v_{人}+tv_{水}$。
3. 解方程：
化简得：$v_{人}t + v_{水}t=10v_{人}+v_{水}t$，
消去$v_{水}t$：$v_{人}t=10v_{人}$，
因$v_{人}\neq0$，解得$t=10$。
结论：10分钟。
