7. 定义一种新运算:对于任意的非零实数$a,b,a\otimes b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.若$(x + 1)\otimes x = \frac{2x + 1}{x}$,则$x$的值为.

$-\frac{1}{2}$

由新运算定义得，$(x+1)\otimes x=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$。
则方程为$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}=\frac{2x+1}{x}$。
方程两边同乘$x(x+1)$得：$x + (x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$。
展开右边：$2x^2 + 3x + 1$。
左边合并：$2x + 1$。
移项得：$2x^2 + 3x + 1 - 2x - 1 = 0$，即$2x^2 + x = 0$。
解得$x=0$或$x=-\frac{1}{2}$。
检验：$x=0$时，$x(x+1)=0$，是增根，舍去；$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x+1)=\frac{1}{4}\neq0$，是原方程的解。

8. 若点$Q(x,y)满足\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}$,则称点$Q$为“美好点”,写出一个“美好点”的坐标:.

$(2,-1)$（答案不唯一）

由题意，给定方程为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，
等式两边同时乘以$xy$（考虑到$x\ne 0,y\ne 0$，否则分式无意义），得到：
$y+x=1$，
即$x+y=1$。
可以选取$x=2$，则$y=1-2=-1$，
得到一个“美好点”的坐标为$(2,-1)$。
（答案不唯一）

9. 观察规律:
$(1 - \frac{1}{2^2}) = (1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2} = \frac{3}{4}$,
$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2}) = (1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3} = \frac{2}{3}$,
$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4} = \frac{5}{8},…$
若$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})(1 - \frac{1}{n^2}) = \frac{1013}{2025}$($n$为正整数),则$n$的值为()
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026

C

根据题意，将每个括号内的表达式分解为两个分数的乘积：
$1 - \frac{1}{k^2} = \left(1 - \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \frac{k-1}{k} × \frac{k+1}{k}$。
因此，原式可以表示为：
$\prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} × \frac{k+1}{k}$。
观察发现，该乘积中的分数存在大量约分，具体展开如下：
$\;\;\;\;\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \cdots × \frac{n-1}{n} × \frac{n+1}{n}$
$=\frac{1}{2} × \frac{n+1}{n}$
$ = \frac{n+1}{2n}$
根据题意，有：
$\frac{n+1}{2n} = \frac{1013}{2025}$，
交叉相乘，得到：
$2025(n+1) = 2026n$，
展开并整理，得到：
$2025n + 2025 = 2026n$，
进一步整理，得到：
$n = 2025$。

10. 解方程:
(1)$\frac{5}{x - 2} + 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$;
(2)$\frac{3}{x - 3} - \frac{4}{x^2 - 9} = 0$;
(3)$\frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{x}{2 - x} - 2$;
(4)$\frac{7}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - 1} = \frac{3}{x - x^2}$.

(1)
方程 $\frac{5}{x - 2} + 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 两边同乘 $(x - 2)$ 得：
$5 + (x - 2) = -(x - 1)$，
去括号得：
$5 + x - 2 = -x + 1$，
移项，合并得：
$2x = -2$，
解得：
$x = -1$，
检验：当 $x = -1$ 时，$x - 2 \neq 0$，
所以原方程的解为 $x = -1$。
(2)
方程 $\frac{3}{x - 3} - \frac{4}{x^2 - 9} = 0$ 两边同乘 $(x + 3)(x - 3)$ 得：
$3(x + 3) - 4 = 0$，
去括号得：
$3x + 9 - 4 = 0$，
移项，合并得：
$3x = -5$，
解得：
$x = -\frac{5}{3}$，
检验：当 $x = -\frac{5}{3}$ 时，$(x + 3)(x - 3) \neq 0$，
所以原方程的解为 $x = -\frac{5}{3}$。
(3)
方程 $\frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{x}{2 - x} - 2$ 两边同乘 $(x - 2)$ 得：
$3 - 2x = -x - 2(x - 2)$，
去括号得：
$3 - 2x = -x - 2x + 4$，
移项，合并得：
$x = 1$，
检验：当 $x = 1$ 时，$x - 2 \neq 0$，
所以原方程的解为 $x = 1$。
(4)
方程 $\frac{7}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - 1} = \frac{3}{x - x^2}$ 两边同乘 $x(x + 1)(x - 1)$ 得：
$7(x - 1) - 6x = -3(x + 1)$，
去括号得：
$7x - 7 - 6x = -3x - 3$，
移项，合并得：
$4x = 4$，
解得：
$x = 1$，
检验：当 $x = 1$ 时，$x(x + 1)(x - 1) = 0$，
所以 $x = 1$ 是增根，原方程无解。