1. 下列式子:①$\frac{x - 1}{2} = 1$;②$\frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{3x - 1}$;③$\frac{2}{3x} + \frac{1}{2x}$;④$\frac{x^2}{x} = 8$;⑤$\frac{x}{\pi - 1} = 1$;⑥$\frac{x}{a} - 2 = x(a \neq 0)$.其中,是关于$x$的分式方程有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，
①$\frac{x - 1}{2} = 1$，分母为2，不含有未知数x，不是分式方程，而是一元一次方程；
②$\frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{3x - 1}$，分母中含有未知数x，是分式方程；
③$\frac{2}{3x} + \frac{1}{2x}$，只是一个代数式，并不是等式，所以不是方程；
④$\frac{x^2}{x} = 8$，分母中含有未知数x，是分式方程；
⑤$\frac{x}{\pi - 1} = 1$，分母为$\pi - 1$，不含有未知数x（$\pi$为常数），不是分式方程，而是一元一次方程；
⑥$\frac{x}{a} - 2 = x(a \neq 0)$，分母中含有a，但a为参数（且$a \neq 0$），并不作为未知数，所以不是关于x的分式方程，而是一元一次方程；
综上，只有②和④是关于x的分式方程。

2. 分式方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^2 + x} = 1$去分母应乘的最简公分母是()
A.$x + 1$
B.$x^2$
C.$x(x + 1)$
D.$x(x + 1)^2$

C

首先将分式方程中的各个分母进行因式分解，$x + 1$已是最简形式，$x^2 + x$可分解为$x(x + 1)$。
所以该方程分母分别为$x + 1$和$x(x + 1)$，那么最简公分母为$x(x + 1)$。

3. 解分式方程$\frac{2}{x - 1} + \frac{x - 2}{1 - x} = 3$时,去分母后变形为()
A.$2 - (x + 2) = 3(x - 1)$
B.$2 - (x + 2) = 3(1 - x)$
C.$2 - x + 2 = 3(x - 1)$
D.$2 + (x + 2) = 3(x - 1)$

C

方程变形为$\frac{2}{x - 1} - \frac{x - 2}{x - 1} = 3$，两边同乘$(x - 1)$得$2 - (x - 2) = 3(x - 1)$，即$2 - x + 2 = 3(x - 1)$

4. 若分式$\frac{x}{x - 1}与\frac{m}{1 - x}$的值相等,则$m$的值不可能是()
A.$-3$
B.$0$
C.$-1$
D.$-2$

B（实际应为C的错误选项的（按照解析应为$m\neq-1$，即选项C不可能）这里按照选项排列B对应0不可能为错误，正确应为C） （修正：根据解析，$m$不可能为$-1$对应的选项，即C）

由题意，分式方程为：
$\frac{x}{x - 1} = \frac{m}{1 - x}$
将右边分母化为相同形式：
$\frac{x}{x - 1} = -\frac{m}{x - 1}$
两边分母相同，故分子相等：
$x = -m$
即：
$m = -x$
由于分式分母不能为零，$x - 1 \neq 0$，即$x \neq 1$，代入$m = -x$得：
$m \neq -1$
因此，$m$不可能为$-1$外的其他值（但需验证选项）。
检查选项：若$m=0$，则$x=0$，满足原方程；若$m=-3$，$x=3$，满足；若$m=-2$，$x=2$，满足；若$m=-1$，则$x=1$，此时分母为零，无意义。

5. 关于$x的方程\frac{x - 2}{x} - 1 = \frac{3}{x - 2}$的解为.

$\frac{4}{5}$

方程两边同乘$x(x - 2)$，得$(x - 2)^2 - x(x - 2) = 3x$，展开得$x^2 - 4x + 4 - x^2 + 2x = 3x$，合并同类项得$-2x + 4 = 3x$，移项得$-5x = -4$，解得$x = \frac{4}{5}$。检验：当$x = \frac{4}{5}$时，$x(x - 2) = \frac{4}{5}×(\frac{4}{5} - 2) = \frac{4}{5}×(-\frac{6}{5}) = -\frac{24}{25} ≠ 0$，所以$x = \frac{4}{5}$是原方程的解。

6. 按照如图所示的程序计算,若输出$y的值是2$,则输入$x$的值是.

$1$

本题可根据程序计算的规则，分情况讨论输入$x$的取值范围，进而求出$x$的值。
已知程序计算的规则为：当$x\gt0$时，$y = \frac{1}{x} + 1$；当$x\leq0$时，$y = 2x - 1$，且输出$y$的值是$2$，分以下两种情况进行讨论：
当$x\gt0$时：
此时$y = \frac{1}{x} + 1$，因为$y = 2$，所以可得方程$\frac{1}{x} + 1 = 2$。
方程两边同时减去$1$可得：$\frac{1}{x}=2 - 1 = 1$。
两边同时取倒数，可得$x = 1$，满足$x\gt0$。
当$x\leq0$时：
此时$y = 2x - 1$，因为$y = 2$，所以可得方程$2x - 1 = 2$。
方程两边同时加上$1$可得：$2x = 2 + 1 = 3$。
两边同时除以$2$，可得$x = 1.5$，不满足$x\leq0$，应舍去。
综上，输入$x$的值是$1$。