11. 已知关于$x的分式方程\frac{m}{x - 1} + 2 = -\frac{3}{1 - x}$的解为非负数,求正整数$m$的值.

1. 原方程变形：$\frac{m}{x - 1} + 2 = \frac{3}{x - 1}$
2. 去分母（两边乘$x - 1$）：$m + 2(x - 1) = 3$
3. 化简得：$m + 2x - 2 = 3$，即$2x = 5 - m$，解得$x = \frac{5 - m}{2}$
4. 解为非负数：$\frac{5 - m}{2} \geq 0$，得$5 - m \geq 0$，即$m \leq 5$
5. 分母不为零：$x - 1 \neq 0$，即$\frac{5 - m}{2} \neq 1$，得$5 - m \neq 2$，即$m \neq 3$
6. 正整数$m$满足$m \leq 5$且$m \neq 3$，故$m = 1, 2, 4, 5$
结论：正整数$m$的值为$1, 2, 4, 5$

12. 关于$x的分式方程\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$的解为正数,且使关于$y的一元一次不等式组\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} \leq y - 1,\\y + 3 ＞ a\end{cases} $有解,则所有满足条件的整数$a$的值之和是多少?

$-2$

1. 解分式方程：$\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3x - 1}{2 - x}$
方程变形为$\frac{ax - 3}{x - 2} + 1 = -\frac{3x - 1}{x - 2}$，两边乘$x - 2$（$x \neq 2$）得：
$ax - 3 + x - 2 = -3x + 1$，整理得$(a + 4)x = 6$，解得$x = \frac{6}{a + 4}$。
2. 分式方程解为正数且$x \neq 2$：
$x ＞ 0$：$\frac{6}{a + 4} ＞ 0 \Rightarrow a + 4 ＞ 0 \Rightarrow a ＞ -4$；
$x \neq 2$：$\frac{6}{a + 4} \neq 2 \Rightarrow a + 4 \neq 3 \Rightarrow a \neq -1$。
3. 解不等式组$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2} \leq y - 1 \\ y + 3 ＞ a\end{cases}$：
解$\frac{3y - 2}{2} \leq y - 1$：$3y - 2 \leq 2y - 2 \Rightarrow y \leq 0$；
解$y + 3 ＞ a$：$y ＞ a - 3$；
不等式组有解：$a - 3 ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 3$。
4. 综合条件：$-4 ＜ a ＜ 3$且$a \neq -1$，整数$a$为$-3, -2, 0, 1, 2$。
5. 整数$a$之和：$-3 + (-2) + 0 + 1 + 2 = -2$。

13. 已知关于$x的分式方程\frac{x - a}{x - 2} - \frac{5}{x} = 1$.
(1)若分式方程的根是$x = 5$,求$a$的值;
(2)若分式方程有增根,求$a$的值;
(3)若分式方程无解,求$a$的值.

(1)$a = - 1$；
(2)$a = 2$；
(3)$a = 2$或$a=-3$。

(1)
将$x = 5$代入原分式方程$\frac{x - a}{x - 2}-\frac{5}{x}=1$得：
$\frac{5 - a}{5 - 2}-\frac{5}{5}=1$
$\frac{5 - a}{3}-1 = 1$
$\frac{5 - a}{3}=2$
$5 - a = 6$
$a=-1$
(2)
原方程$\frac{x - a}{x - 2}-\frac{5}{x}=1$，两边同乘$x(x - 2)$得：
$x(x - a)-5(x - 2)=x(x - 2)$
$x^{2}-ax - 5x + 10=x^{2}-2x$
$-ax - 5x+2x=- 10$
$(-a - 3)x=-10$
因为分式方程有增根，所以增根为$x = 0$或$x = 2$。
当$x = 0$时，$(-a - 3)×0=-10$，此方程无解；
当$x = 2$时，$(-a - 3)×2=-10$，
$-2a-6=-10$
$-2a=-4$
$a = 2$
(3)
由(2)得$(-a - 3)x=-10$
当$-a - 3 = 0$，即$a=-3$时，方程$(-a - 3)x=-10$无解，此时原分式方程也无解；
当$-a - 3\neq0$，即$a\neq - 3$时，$x=\frac{10}{a + 3}$，
若分式方程的增根为$x = 2$，由(2)知$a = 2$；
若分式方程的增根为$x = 0$，此时$\frac{10}{a + 3}=0$，无解。
综上，当$a = 2$或$a=-3$时，分式方程无解。