1. 如图，河道m的同侧有M，N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两村，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）

1. C

【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是掌握直线同侧两点到直线上一点距离和最短的求解方法：我们需要将同侧两点的问题通过轴对称转化为异侧两点的问题，再利用“两点之间线段最短”的原理判断最短路径。首先回忆该模型的标准作图步骤：作其中一个点关于直线m的对称点，连接对称点与另一个点，连线与直线m的交点就是取水点，此时管道总长度最短，对应判断四个选项的作图即可。
【解析】
要使河道m上的取水点到M、N两村的管道总长度最短，按照最短路径模型解题：
1. 作点M关于直线m的对称点，根据轴对称的性质，直线m上任意一点到M和到其对称点的距离相等，因此“取水点到M、N的距离和”等价于“取水点到M的对称点、N的距离和”；
2. 根据“两点之间线段最短”，连接M的对称点与N，这条线段与直线m的交点就是总长度最短时的取水点，此时总管道长度等于该线段的长度，是所有情况中最短的。
观察选项：A、B的作图没有进行轴对称转化，总长度更长；D的作图是MN的垂直平分线，不符合最短路径的要求；只有选项C的作图符合上述最短路径的求解逻辑。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，重点考查对“同侧两点到直线上一点距离和最小”模型的掌握，解题关键是熟练运用轴对称完成同侧点到异侧点的转化，结合线段的性质求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在四边形ABCD中，$∠ BAD=130°$，$∠ B=∠ D=90°$，点E，F分别是线段BC，DC上的动点.当$△ AEF$的周长最小时，$∠ EAF$的度数为（）

A.$90°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$60°$

2. B

【分析】
要解决△AEF周长最小的问题，属于最短路径的经典题型，解题思路分为两步：①构造最短路径：通过作点A关于BC、CD的对称点，利用轴对称的性质将△AEF的三边转化为两点之间的线段，依据两点之间线段最短确定E、F的位置；②计算角度：结合四边形内角和、轴对称的角相等性质，推导∠EAF的度数。
【解析】
步骤1：确定E、F的位置
作点A关于BC的对称点$A_1$，作点A关于CD的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$，与BC交于点E，与CD交于点F，此时$△ AEF$的周长最小。
理由：由轴对称性质可得$AE=A_1E$，$AF=A_2F$，因此$△ AEF$的周长$=AE+EF+AF=A_1E+EF+A_2F=A_1A_2$，根据两点之间线段最短，此时周长最小。
步骤2：计算$∠ EAF$的度数
① 四边形内角和为$360°$，已知$∠ BAD=130°$，$∠ B=∠ D=90°$，因此$∠ C=360° - 90° - 90° - 130°=50°$。
② 由轴对称性质可知：$∠ BAE=∠ A_1$，$∠ DAF=∠ A_2$。在$△ AA_1A_2$中，$∠ A_1 + ∠ A_2 = 180° - ∠ A_1AA_2$，又因为$A_1$在AB延长线上、$A_2$在AD延长线上，$∠ A_1AA_2=180° - ∠ BAD=50°$，因此$∠ A_1 + ∠ A_2=180° - 50°=50°$，即$∠ BAE + ∠ DAF=50°$。
③ 因此$∠ EAF=∠ BAD - (∠ BAE + ∠ DAF)=130° - 50°=80°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，四边形内角和
【点评】
本题是最短路径与角度计算结合的综合题，核心是利用对称转化线段得到周长最小的位置，再结合对称的角相等性质推导角度，需要熟练掌握最短路径的构造方法和轴对称的性质。
【难度系数】
0.6

3. 在学校的花园里，有一个边长为5 m的等边三角形花坛ABC，园艺师要在BC边的中线AD上设置一个浇水装置F，同时在AC边上有一株特殊的花卉E，已知AE=2.5 m. 现在需要用水管连接E和F，再连接F和C来灌溉花卉. 为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度EF+CF最短，此时∠CFE的度数为.

3. 60°

【分析】
本题属于轴对称求最短路径的典型题型，解题思路如下：首先利用等边三角形三线合一的性质，确定AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，根据垂直平分线的性质可得CF=BF，就将EF+CF的最小值问题转化为EF+BF的最小值问题；根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF最短，即此时EF+CF最短。再结合等边三角形三线合一的性质，确定E是AC中点，进而推导各角度数即可求出∠CFE。
【解析】
解：
1.
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，由等边三角形三线合一可知AD垂直平分BC，
∴点C与点B关于AD对称，
∴CF=BF，即EF+CF=EF+BF。
2. 根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值，即此时EF+CF最短，F为BE与AD的交点。
3. 已知等边△ABC边长为5m，AE=2.5m，
∴EC=AC-AE=5-2.5=2.5m，即E是AC的中点。
4. 由等边三角形三线合一，BE是AC边上的中线，
∴BE⊥AC，且BE平分∠ABC，
∴∠CEF=∠BEC=90°，∠EBC=½∠ABC=½×60°=30°。
5.
∵CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC=30°。
6. 又
∵等边△ABC中∠ACB=60°，
∴∠ECF=∠ACB - ∠FCB=60°-30°=30°。
7. 在△CEF中，由三角形内角和为180°可得：
∠CFE=180° - ∠CEF - ∠ECF=180°-90°-30°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题将最短路径的轴对称模型与等边三角形的性质结合考查，解题的核心是通过轴对称将两条线段和的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的角度性质推导所求角度，是几何中路径最值与角度计算结合的经典题型。
【难度系数】
0.6

4. 如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角. 已知OA=3 km，牧民赶着羊从A地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地.
（1）能否求出整个过程所走的最短路程？.（用“能”或“否”填空）
（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由.

4. (1) 能
(2) 3 km

【分析】
本题属于两定线的最短路径问题，解题思路如下：①利用轴对称的性质，将折线路径转化为直线段长度，依据“两点之间线段最短”找到最短路径；②分别作出点A关于OM、ON的对称点，把路径A→草地某点→河边某点→A的总长度转化为两个对称点之间的线段长度；③结合已知的∠MON=30°和OA的长度，利用等边三角形的判定和性质求出线段长度，即可得到最短路程。
【解析】
(1) 可通过对称转化法求解最短路程，因此填“能”。
(2) 具体求解步骤：
① 分别作点A关于直线OM的对称点$A_1$，关于直线ON的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$，与OM交于点P、与ON交于点Q，此时路径$A\to P\to Q\to A$为最短路径，总路程等于$A_1A_2$的长度。
② 根据轴对称的性质可知：$OA_1=OA=3\mathrm{km}$，$OA_2=OA=3\mathrm{km}$，$∠ A_1OM=∠ AOM$，$∠ A_2ON=∠ AON$。
③ 计算$∠ A_1OA_2$的度数：$∠ A_1OA_2=∠ A_1OM+∠ AOM+∠ AON+∠ A_2ON=2(∠ AOM+∠ AON)=2∠ MON=2×30°=60°$。
④ 因为$OA_1=OA_2=3\mathrm{km}$，且$∠ A_1OA_2=60°$，因此$△ A_1OA_2$是等边三角形，可得$A_1A_2=OA_1=3\mathrm{km}$，即最短路程为3km。
【答案】
(1) 能
(2) 3 km
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型变式，核心是利用对称思想将折线路径转化为直线段求解，同时结合角度和边长条件判定等边三角形得到最终结果，解题的关键是掌握作对称点转化路径的方法。
【难度系数】
0.6