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5. 如图所示，为了做好城市运动会的安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路$ l_1 $上设卡检查，再到公路$ l_2 $上设卡检查，然后到B处执行任务，他们应该如何走才能使总路程最短？
答案
5. 解：如图，沿$A→C→D→B$走即可.
∵ 点A关于直线$l_1$的对称点为$A'$，点B关于直线$l_2$的对称点为$B'$，
∴$AC=A'C$，$DB=DB'$，
∴$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'≥A'B'$，根据两点之间线段最短，可得沿$A→C→D→B$走，才能使总路程最短.
解析
【分析】
要解决先后经过两条直线上的点，使得总路程最短的问题，我们可以利用轴对称性质将折线转化为直线段来求解。首先回忆：两点之间线段最短，所以我们需要把分散的折线路段通过对称“拼接”成两点之间的线段。具体思路是：先作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，则A到$l_1$上任意点的距离都等于$A'$到该点的距离；再作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$，则B到$l_2$上任意点的距离都等于$B'$到该点的距离。此时总路程$AC+CD+DB$就转化为$A'C+CD+DB'$，当C、D在线段$A'B'$上时，这三段的和就是线段$A'B'$的长度，是最小值，对应的C、D就是我们要找的设卡点。
【解析】
1. 分别作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
2. 连接$A'B'$，与$l_1$交于点C，与$l_2$交于点D；
3. 根据轴对称的性质可得：$AC=A'C$，$DB=DB'$，因此总路程$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'$；
根据“两点之间，线段最短”，$A'C+CD+DB'$的最小值为线段$A'B'$的长度，因此沿$A→C→D→B$的路线行走，总路程最短。
【答案】
沿$A→C→D→B$走才能使总路程最短。
∵ 点A关于直线$l_1$的对称点为$A'$，点B关于直线$l_2$的对称点为$B'$，
∴$AC=A'C$，$DB=DB'$，
∴$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'≥A'B'$，根据两点之间线段最短，可得沿$A→C→D→B$走，才能使总路程最短。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径类的典型应用题，核心考查轴对称性质与两点之间线段最短原理的结合应用，解题关键是掌握用对称变换将折线路径转化为两点之间线段的思路，该方法是解决同类路径最短问题的常用技巧，需要熟练运用。
【难度系数】
0.6
要解决先后经过两条直线上的点，使得总路程最短的问题，我们可以利用轴对称性质将折线转化为直线段来求解。首先回忆：两点之间线段最短，所以我们需要把分散的折线路段通过对称“拼接”成两点之间的线段。具体思路是：先作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，则A到$l_1$上任意点的距离都等于$A'$到该点的距离；再作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$，则B到$l_2$上任意点的距离都等于$B'$到该点的距离。此时总路程$AC+CD+DB$就转化为$A'C+CD+DB'$，当C、D在线段$A'B'$上时，这三段的和就是线段$A'B'$的长度，是最小值，对应的C、D就是我们要找的设卡点。
【解析】
1. 分别作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$，点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
2. 连接$A'B'$，与$l_1$交于点C，与$l_2$交于点D；
3. 根据轴对称的性质可得：$AC=A'C$，$DB=DB'$，因此总路程$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'$；
根据“两点之间，线段最短”，$A'C+CD+DB'$的最小值为线段$A'B'$的长度，因此沿$A→C→D→B$的路线行走，总路程最短。
【答案】
沿$A→C→D→B$走才能使总路程最短。
∵ 点A关于直线$l_1$的对称点为$A'$，点B关于直线$l_2$的对称点为$B'$，
∴$AC=A'C$，$DB=DB'$，
∴$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'≥A'B'$，根据两点之间线段最短，可得沿$A→C→D→B$走，才能使总路程最短。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径类的典型应用题，核心考查轴对称性质与两点之间线段最短原理的结合应用，解题关键是掌握用对称变换将折线路径转化为两点之间线段的思路，该方法是解决同类路径最短问题的常用技巧，需要熟练运用。
【难度系数】
0.6
（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线.
（2）如图2，直线l是一条河，A，B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A，B两村供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点.
（3）如图3，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示. 试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短？请在图中画出桥CD的位置. 画出示意图，并用平移的原理说明理由.
（2）如图2，直线l是一条河，A，B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A，B两村供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点.
（3）如图3，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示. 试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短？请在图中画出桥CD的位置. 画出示意图，并用平移的原理说明理由.
答案
6. 解：(1)
(2)
(3)
，先确定$AA'=CD$，且$AA'// CD$，连接$BA'$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置.理由：由作图过程可知，四边形$ADCA'$为平行四边形，AD平移至$A'C$即可得到线段$A'B$，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥.
解析
【分析】
（1）点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此只需过点P向河边作垂线，垂足就是最优饮水点，点P到垂足的线段就是最短路线；
（2）这是直线同侧两点的最短路径问题，可利用轴对称的性质将其中一个点转换到直线另一侧，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和直线的交点就是水泵站位置，此时两段管道长度和最小；
（3）桥垂直河岸，长度固定等于河宽，因此只需让除桥外的两段路程和最短即可。利用平移的性质，将点A沿垂直河岸方向平移河宽的距离，把问题转化为平移后的点到B点的最短路径问题，即可确定桥的位置。
【解析】
（1）过点P作河边直线的垂线，垂足为C，线段PC即为最短路线，依据是垂线段最短；
（2）作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点M，由轴对称性质可得MA=MA'，因此MA+MB=MA'+MB，依据两点之间线段最短，此时MA+MB的长度最小，M即为所求水泵站位置；
（3）作图步骤：①将点A沿垂直河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽，得到点A'；②连接A'B与河岸l₁交于点C；③过C作CD垂直l₁，交另一河岸l₂于D，CD即为所求桥的位置。
理由：由平移性质可知AA'=CD且AA'//CD，因此四边形ADCA'是平行四边形，可得AD=A'C，总路程为AD+CD+CB=A'C+CB+CD=A'B+CD，CD为定值，A'B是A'到B的最短路径，因此此时总路程最短。
【答案】
(1)
(2)
(3)，先确定$AA'=CD$，且$AA'// CD$，连接$BA'$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置.
理由：由作图过程可知，四边形$ADCA'$为平行四边形，AD平移至$A'C$即可得到线段$A'B$，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥.
【知识点】
1. 垂线段最短
2. 轴对称的性质
3. 平移的性质
【点评】
本题考查三类经典的最短路径实际应用模型，解题核心是利用几何性质将折线长度和转化为线段长度，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握不同最短路径模型的作图方法和原理。
【难度系数】
0.7
（1）点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此只需过点P向河边作垂线，垂足就是最优饮水点，点P到垂足的线段就是最短路线；
（2）这是直线同侧两点的最短路径问题，可利用轴对称的性质将其中一个点转换到直线另一侧，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和直线的交点就是水泵站位置，此时两段管道长度和最小；
（3）桥垂直河岸，长度固定等于河宽，因此只需让除桥外的两段路程和最短即可。利用平移的性质，将点A沿垂直河岸方向平移河宽的距离，把问题转化为平移后的点到B点的最短路径问题，即可确定桥的位置。
【解析】
（1）过点P作河边直线的垂线，垂足为C，线段PC即为最短路线，依据是垂线段最短；
（2）作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点M，由轴对称性质可得MA=MA'，因此MA+MB=MA'+MB，依据两点之间线段最短，此时MA+MB的长度最小，M即为所求水泵站位置；
（3）作图步骤：①将点A沿垂直河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽，得到点A'；②连接A'B与河岸l₁交于点C；③过C作CD垂直l₁，交另一河岸l₂于D，CD即为所求桥的位置。
理由：由平移性质可知AA'=CD且AA'//CD，因此四边形ADCA'是平行四边形，可得AD=A'C，总路程为AD+CD+CB=A'C+CB+CD=A'B+CD，CD为定值，A'B是A'到B的最短路径，因此此时总路程最短。
【答案】
(1)
(2)
(3)
，先确定$AA'=CD$，且$AA'// CD$，连接$BA'$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置.理由：由作图过程可知，四边形$ADCA'$为平行四边形，AD平移至$A'C$即可得到线段$A'B$，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥.
【知识点】
1. 垂线段最短
2. 轴对称的性质
3. 平移的性质
【点评】
本题考查三类经典的最短路径实际应用模型，解题核心是利用几何性质将折线长度和转化为线段长度，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握不同最短路径模型的作图方法和原理。
【难度系数】
0.7
7. (2024·绥化) 如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=
80°
。答案
7. 80°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确△PMN周长最小时点M、N的位置：根据最短路径的构造方法，分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质将PM、PN转化为对称点到M、N的线段，当两个对称点、M、N四点共线时，△PMN的周长最小。接下来求∠MPN的度数时，结合轴对称的性质得到对应角相等，再利用四边形内角和、三角形内角和定理推导角度关系即可求解。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，与OA交于点M，与OB交于点N，此时$△ PMN$的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：OA垂直平分$PP_1$，OB垂直平分$PP_2$，因此$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$∠ P_1=∠ MPP_1$，$∠ P_2=∠ NPP_2$，且$∠ OPP_1=90°$，$∠ OPP_2=90°$。
3. 在四边形中内角和为$360°$，已知$∠ AOB=50°$，两个直角和为$180°$，因此$∠ P_1PP_2=360° - 90° -90° -50°=130°$。
4. 在$△ P_1P_2P$中，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ P_1+∠ P_2=180° - ∠ P_1PP_2=180° -130°=50°$。
5. 因此$∠ MPN=∠ P_1PP_2 - ∠ MPP_1 - ∠ NPP_2=130° - (∠ P_1+∠ P_2)=130° -50°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型题型，既考查了最短路径的构造方法，也结合了轴对称性质和角度计算的相关知识，解题的核心是正确通过作对称点确定动点的位置，再利用角度关系推导求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确△PMN周长最小时点M、N的位置：根据最短路径的构造方法，分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质将PM、PN转化为对称点到M、N的线段，当两个对称点、M、N四点共线时，△PMN的周长最小。接下来求∠MPN的度数时，结合轴对称的性质得到对应角相等，再利用四边形内角和、三角形内角和定理推导角度关系即可求解。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，与OA交于点M，与OB交于点N，此时$△ PMN$的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：OA垂直平分$PP_1$，OB垂直平分$PP_2$，因此$PM=P_1M$，$PN=P_2N$，$∠ P_1=∠ MPP_1$，$∠ P_2=∠ NPP_2$，且$∠ OPP_1=90°$，$∠ OPP_2=90°$。
3. 在四边形中内角和为$360°$，已知$∠ AOB=50°$，两个直角和为$180°$，因此$∠ P_1PP_2=360° - 90° -90° -50°=130°$。
4. 在$△ P_1P_2P$中，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ P_1+∠ P_2=180° - ∠ P_1PP_2=180° -130°=50°$。
5. 因此$∠ MPN=∠ P_1PP_2 - ∠ MPP_1 - ∠ NPP_2=130° - (∠ P_1+∠ P_2)=130° -50°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型题型，既考查了最短路径的构造方法，也结合了轴对称性质和角度计算的相关知识，解题的核心是正确通过作对称点确定动点的位置，再利用角度关系推导求解。
【难度系数】
0.6
