9. (2023·灯塔) 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$DE⊥ AB$ 于点$E$.
(1) 如图1，连接$EC$，求证：$△ EBC$ 是等边三角形.
(2) 点$M$是线段$CD$上的一点（不与点$C$，$D$重合），以$BM$为一边，在$BM$的下方作$∠ BMG=60°$，$MG$交$DE$的延长线于点$G$. 请你在图2中画出完整图形，并直接写出$MD$，$DG$与$AD$之间的数量关系.
(3) 如图3，点$N$是线段$AD$上的一点，以$BN$为一边，在$BN$的下方作$∠ BNG=60°$，$NG$交$DE$的延长线于点$G$. 试探究$ND$，$DG$与$AD$之间的数量关系，并说明理由.

9. 证明：（1）如图1所示，在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$\therefore ∠ABC=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB$. $\because BD$ 平分 $∠ABC$，$\therefore ∠DBC=∠DBA=∠A=30°$，$\therefore DA=DB$. $\because DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$\therefore BC=BE$，$\therefore △EBC$ 是等边三角形.
（2）结论：$AD=DG+DM$. 如图2所示，延长 $ED$ 使得 $DW=DM$，连接 $MW$，$\because ∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$BD$ 是 $△ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\therefore ∠ADE=∠BDE=60°$，$AD=BD$. 又 $\because DM=DW$，$\therefore △WDM$ 是等边三角形，$\therefore MW=DM$. 在 $△WGM$ 和 $△DBM$ 中，$\because \begin{cases}∠W=∠MDB,\\MW=DM,\\∠WMG=∠DMB,\end{cases}$ $\therefore △WGM ≌ △DBM$，$\therefore BD=WG=DG+DM$，$\therefore AD=DG+DM$.
（3）结论：$AD=DG-DN$. 理由：如图3所示，延长 $BD$ 至点 $H$，使得 $DH=DN$. 由（1）得 $DA=DB$，$∠A=30°$. $\because DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\therefore ∠2=∠3=60°$，$\therefore ∠4=∠5=60°$，$\therefore △NDH$ 是等边三角形，$\therefore NH=ND$，$∠H=∠6=60°$，$\therefore ∠H=∠2$. $\because ∠BNG=60°$，$\therefore ∠BNG+∠7=∠6+∠7$，即 $∠DNG = ∠HNB$. 在 $△DNG$ 和 $△HNB$ 中，$\begin{cases}∠DNG=∠HNB,\\DN=HN,\\∠2=∠H,\end{cases}$ $\therefore △DNG ≌ △HNB$（ASA），$\therefore DG=HB$. $\because HB=HD+DB=ND+AD$，$\therefore DG=ND+AD$，$\therefore AD=DG-ND$.

【分析】
本题分为三个小问，各小问解题思路如下：
(1) 要证△EBC是等边三角形，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：先由Rt△ABC中∠A=30°得出∠ABC=60°、$BC=\frac{1}{2}AB$，再结合BD是角平分线可得DA=DB，DE⊥AB由等腰三角形三线合一得E是AB中点，即$BE=\frac{1}{2}AB$，因此BC=BE，结合∠ABC=60°即可得证。
(2) 探究MD、DG与AD的数量关系，采用截长补短构造全等的思路：延长ED至W使DW=DM，先证△WDM是等边三角形，再证明△WGM≌△DBM，得到$BD=WG=DG+DM$，结合AD=BD即可推出结论。
(3) 探究ND、DG与AD的数量关系，同理构造全等：延长BD至H使DH=DN，先证△NDH是等边三角形，再证明△DNG≌△HNB，得到$DG=HB=ND+AD$，变形即可得到结论。
【解析】
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ABC=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB$，
$\because BD$ 平分 $∠ ABC$，$\therefore ∠ DBC=∠ DBA=∠ A=30°$，
$\therefore DA=DB$，
$\because DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore BC=BE$，又 $∠ ABC=60°$，
$\therefore △EBC$ 是等边三角形。
(2) 完整图形如图2所示，延长 $ED$ 使得 $DW=DM$，连接 $MW$，
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BD$ 是 $△ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，
$\therefore ∠ ADE=∠ BDE=60°$，$AD=BD$，
又 $\because DM=DW$，$∠ WDM=∠ BDE=60°$，
$\therefore △WDM$ 是等边三角形，$\therefore MW=DM$，$∠ W=∠ MDB=60°$，
$\because ∠ BMG=60°$，$\therefore ∠ WMG + ∠ GMD = ∠ DMB + ∠ GMD = 60°$，即 $∠ WMG=∠ DMB$，
在 $△WGM$ 和 $△DBM$ 中，
$\begin{cases}∠W=∠MDB,\\MW=DM,\\∠WMG=∠DMB,\end{cases}$
$\therefore △WGM ≌ △DBM(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BD=WG=DG+DW=DG+DM$，
又 $\because AD=BD$，$\therefore AD=DG+DM$。
(3) 延长 $BD$ 至点 $H$，使得 $DH=DN$，
由(1)得 $DA=DB$，$∠ A=30°$，
$\because DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\therefore ∠ 2=∠ 3=60°$，
$\therefore ∠ 4=∠ 5=60°$，
$\therefore △NDH$ 是等边三角形，$\therefore NH=ND$，$∠ H=∠ 6=60°$，$\therefore ∠ H=∠ 2$，
$\because ∠ BNG=60°$，$\therefore ∠ BNG+∠ 7=∠ 6+∠ 7$，即 $∠ DNG = ∠ HNB$，
在 $△DNG$ 和 $△HNB$ 中，
$\begin{cases}∠DNG=∠HNB,\\DN=HN,\\∠2=∠H,\end{cases}$
$\therefore △DNG ≌ △HNB(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DG=HB$，
$\because HB=HD+DB=ND+AD$，
$\therefore DG=ND+AD$，即 $AD=DG-ND$。
【答案】
(1) △EBC是等边三角形，证明成立；
(2) $AD=DG+DM$，图形见解析；
(3) $AD=DG-ND$，理由见解析。
【知识点】
直角三角形30°角的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线构造等边三角形和全等三角形解决线段和差问题，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6