【例】图1是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2中阴影部分的正方形的边长是.（用含$a$，$b$的式子表示）
（2）观察图2，用一个等式表示$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系：.
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若$m+n=8$，$mn=12$，求$m-n$的值.
【点拨】本题考查完全平方、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提.本题的（3）中，已知$m$与$n$的和、积，求$m$与$n$的差，满足（2）的关系模型，直接代入（2）结论，即可解决问题.

解：
(1) 阴影部分是边长为$a-b$的正方形，故答案为$a-b$.
(2) 题图2整体是边长为$a+b$的正方形，因此面积为$(a+b)^2$，题图2各个部分的面积和为$(a-b)^2+4ab$，$\therefore$ 有 $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$.
(3) $\because m+n=8$，$mn=12$，
$\therefore (m-n)^2=(m+n)^2-4mn=64-48=16$，$\therefore m-n=\pm4$.

【分析】
（1）观察图2的结构：大正方形边长为$a+b$，拼成大正方形的四个小长方形长为$a$、宽为$b$，阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即可得出结果。
（2）用两种方法表示图2的面积：一种是直接计算大正方形面积为$(a+b)^2$；另一种是阴影部分正方形面积加上四个小长方形的面积，和为$(a-b)^2+4ab$，两种方式表示的面积相等，即可得到三者的等量关系。
（3）直接套用（2）中得到的等式，将$m+n$和$mn$的值代入，先求出$(m-n)^2$的值，再开平方即可得到$m-n$的值，注意平方等于16的数有正负两个。
【解析】
（1）观察图2可知，阴影部分正方形的边长 = 小长方形的长 - 小长方形的宽，即$a-b$。
（2）图2中大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形面积为$(a+b)^2$；
大正方形的面积也等于阴影部分正方形面积加上4个小长方形的面积，即$(a-b)^2 + 4ab$；
因为两种方式表示的是同一个正方形的面积，因此可得等量关系：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
（3）根据（2）的结论，可得$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
将$m+n=8$，$mn=12$代入上式：
$(m-n)^2=8^2 - 4×12=64-48=16$，
因此$m-n=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
【答案】
(1) $a-b$
(2) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(3) $\pm4$
【知识点】
1. 完全平方公式的几何背景
2. 完全平方公式变形
3. 代数式求值
【点评】
本题借助几何图形的面积关系推导完全平方公式的变形，解题的关键是掌握面积法的应用，在求解开平方的结果时要注意正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

1. $(-x^2 - y)^2$ 等于 ()

A.$-x^2 - 2xy + y^2$
B.$-x^4 - 2x^2y + y^2$
C.$x^4 + 2x^2y + y^2$
D.$x^4 - 2xy - y^2$

1. C

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先处理原式的符号，由于平方运算的结果非负，可先将$(-x^2 - y)^2$转化为$(x^2 + y)^2$（依据$(-a)^2=a^2$），再把$a=x^2$、$b=y$代入完全平方公式展开，最后对照选项选出正确答案即可，解题时要注意幂的运算规则，不要弄错符号和指数。
【解析】
解：先处理符号再展开计算
$\because (-x^2 - y)^2 = [-(x^2 + y)]^2 = (x^2 + y)^2$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=x^2$，$b=y$，代入得：
$(x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2· x^2· y + y^2 = x^4 + 2x^2y + y^2$
对比选项，C选项与计算结果一致。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；幂的运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的对应项，尤其要注意符号的处理，避免因符号判断失误、指数计算错误失分。
【难度系数】
0.8

2. 若$(x+y)^2 - M = (x-y)^2$，则$M$为（）

A.$2xy$
B.$\pm2xy$
C.$4xy$
D.$\pm4xy$

2. C

【分析】
解题时首先对已知等式进行移项变形，得到M的表达式：$M=(x+y)^2-(x-y)^2$，接下来需要运用完全平方公式分别将两个完全平方式展开，再通过去括号、合并同类项的整式运算即可求出M的值。
【解析】
首先对等式$(x+y)^2 - M = (x-y)^2$移项，可得：
$M=(x+y)^2 - (x-y)^2$
根据完全平方公式展开：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
代入M的表达式得：
$\begin{aligned}M&=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)\\&=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\&=4xy\end{aligned}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的应用与整式的化简计算，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式：①$(b-4a)^2=b^2-16a^2$；②$(\frac{1}{2}a+b)^2=\frac{1}{4}a^2+ab+b^2$；③$(4m-n)^2=16m^2-4mn+n^2$；④$(-a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. 其中计算正确的是________.（填序号）

②

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的标准结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$（口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央，符号与原式一致），随后将每个式子中的两项对应公式中的a、b，按公式展开后与题干给出的结果逐一对比，即可判断对错，筛选出正确的式子。
【解析】
首先明确完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$，逐个验证：
1. 验证①：$(b-4a)^2$，对应公式中$a=b$，$b=4a$，展开得：
$b^2-2× b×4a+(4a)^2=b^2-8ab+16a^2$，与题干给出的$b^2-16a^2$不符，故①错误。
2. 验证②：$(\frac{1}{2}a+b)^2$，对应公式中$a=\frac{1}{2}a$，$b=b$，展开得：
$(\frac{1}{2}a)^2+2×\frac{1}{2}a× b + b^2=\frac{1}{4}a^2+ab+b^2$，与题干结果一致，故②正确。
3. 验证③：$(4m-n)^2$，对应公式中$a=4m$，$b=n$，展开得：
$(4m)^2-2×4m× n +n^2=16m^2-8mn+n^2$，与题干给出的$16m^2-4mn+n^2$不符，故③错误。
4. 验证④：$(-a-b)^2$，可变形为$[-(a+b)]^2=(a+b)^2$，展开得$a^2+2ab+b^2$，与题干给出的$a^2-2ab+b^2$不符，故④错误。
综上，仅②计算正确。
【答案】
②
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，易错点为混淆完全平方公式和平方差公式、漏写中间项、算错中间项的系数或符号，牢记完全平方公式的结构特征即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7

4. 计算:
(1) $(-3a + b)^2$;
(2) $(-3m - 4n)^2$;
(3) $( \dfrac{3}{4}x + \dfrac{2}{3}y )^2$;
(4) $(x + 2)(x - 2) - (x + 1)^2$.

(1) $9a^2-6ab+b^2$
(2) $9m^2+24mn+16n^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2+xy+\frac{4}{9}y^2$
(4) $-2x-5$

【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：1. 先明确核心公式：完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；2. 前3道题先确定每个式子中对应公式里的a、b项，带符号的项要将符号一起代入计算；3. 第(4)题先分别用平方差公式、完全平方公式展开两个乘积项，再去括号、合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 将$-3a$看作完全平方公式中的$a$，$b$看作公式中的$b$：
$\begin{aligned}(-3a + b)^2&=(-3a)^2 + 2×(-3a)× b + b^2\\&=9a^2-6ab+b^2\end{aligned}$
(2) 平方后负号抵消，先将原式变形为$(3m+4n)^2$再套用公式：
$\begin{aligned}(-3m-4n)^2&=(3m+4n)^2\\&=(3m)^2 + 2×3m×4n + (4n)^2\\&=9m^2+24mn+16n^2\end{aligned}$
(3) 将$\frac{3}{4}x$看作完全平方公式中的$a$，$\frac{2}{3}y$看作公式中的$b$：
$\begin{aligned}(\frac{3}{4}x + \frac{2}{3}y)^2&=(\frac{3}{4}x)^2 + 2×\frac{3}{4}x×\frac{2}{3}y + (\frac{2}{3}y)^2\\&=\frac{9}{16}x^2 + xy + \frac{4}{9}y^2\end{aligned}$
(4) 先分别展开两个乘积项，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 - 4) - (x^2 + 2x + 1)\\&=x^2 - 4 - x^2 - 2x - 1\\&=-2x -5\end{aligned}$
【答案】
(1) $9a^2-6ab+b^2$
(2) $9m^2+24mn+16n^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2+xy+\frac{4}{9}y^2$
(4) $-2x-5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，核心是准确识别公式对应的项，计算时要注意符号的处理，尤其是去括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，系数计算也要仔细避免失误。
【难度系数】
0.8